Question

函数y=e^x-e^-x/2的反函数

（A） 是奇函数，它在（0，+ ）是减函数。
（B） 是偶函数，它在（0，+ ）是减函数。
（C） 是奇函数，它在（0，+ 是增函数。
（D） 是偶函数，它在（0，+ 是增函数。

Answer 1

C
y=e^x,y=-e^-x均为增函数，所以之和的二分之一（即原函数）也为增函数。

f(x)=[e^x-e^(-x)]/2=[e^(2x)-1]/(2*e^x)

f(-x)=[e^(-2x)-1]/[2*e^(-x)]=[1-e^(2x)]/(2*e^x)

f(x)=-f(-x)
故为奇函数

事实上f(x)=sh(x) 即双曲正弦函数，该函数在实数域上为增函，且为奇函数

Answer 2

分析：（—）反函数与原函数有相同的奇偶性与单调性，故只须考察函数y= e^x-e^-x/2的奇偶性与单调性，易知此函数是奇函数且在在（0，+ 是增函数。故选（C）。
（二）首先求出函数y= e^x-e^-x/2的反函数为y=ln(x+√(x^2+1))，然后证明y=ln(x+√(x^2+1))是奇函数且在在（0，+ 是增函数。故选（C）。