Question

关于函数的一道选择题（高中数学老师或是数学好的同学进来）求教～～

函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都为奇函数，则
A f(x)为偶函数 B f(x)为奇函数
C f(x)=f(x+2) D f(x+3)为奇函数
为什么

由f（x+1)是奇函数，可知f（x）关于（1,0）对称
f（x-1）是奇函数，可知f(x)关于（-1,0）对称
所以f（x）为周期函数，T=4

T=4咋推出来的啊，怎么关于（1，0）和（-1，0）就能推出呢？数学中没有这个定理啊

“若已知（a，0）（b，0）为函数对称中心，则该函数的最小正周期为2（b-a）。其中b大于a”

数学中有这个结论吗，我们老师没说过啊

她只说过“若函数关于x=a且x=b对称，则T=2(b-a)，其中b>a”

我确定她只讲了这一个定理。。。。

Answer 1

由f（x+1)是奇函数，可知f（x）关于（1,0）对称
f（x-1）是奇函数，可知f(x)关于（-1,0）对称
所以f（x）为周期函数，T=4
所以f（x+3）=f（x-1）,故选D项
∴f(x+3)为奇函数。
D·~~

Answer 2

有这个结论的
证明如下
函数关于(a,0)对称,f(x)=-f(2a-x)
函数关于(b,0)对称,f(x)=-f(2b-x)
f(x)=-f(2a-x)=-f[2b-(2b-2a+x)]=f(2b-2a+x)
所以T=2b-2a

Answer 3

想一下y=cosx吧，向左或者向右移动一个单位都是y=sinx，是奇函数。
所以f（x）是偶函数。

1/4T=1，所以周期T=4，所以f（x）=f（x+4）

你把图像移过就知道D也是对的

Answer 4

f(1+x)=-f(1-x),f(-1+x)=-f(-1-x),令x=t+1则f(t+2)=-f(-t),f(-t)=-f(-2-t),所以f(t+2)=f(-t-2),所以f(x)是偶函数

f(1+x)=-f(1-x)，令x=m+1，则f（m+2）=-f（-m）=-f（m）