Question

已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=(1-f(x))/(1+f(x)),(1)证明，2是f(x)的一个周期 （2）

(2)当x∈[0,1)时，f(x)=x,求f(x)在[-1,0)上的解析式
(3)对(2)中的函数f(x)=ax(a>0)有100个根，求实数a的范围

Answer 1

（1）
f(x+1)=(1-f(x))/(1+f(x))
=2/(1+f(x)) -1

则f(x+2)=2/(1+f(x+1))-1
=2/(2/(1+f(x)))-1
=1+f(x)-1
=f(x)
因此2是f(x)的一个周期

（2）
当x∈[-1,0)时，x+1∈[0,1)，则
f(x+1)=x+1
又因为f(x+1)=2/(1+f(x)) -1

则x+1=2/(1+f(x)) -1
f(x)=2/(x+2)-1
也可写成f(x)=-x/(x+2)

(3)
先看f(x)的值域，可以观察一个周期[-1,1)上的值域得到。
在x∈[0,1)时，f(x)=x ∈[0,1)
在x∈[-1,0)时，f(x)=2/(x+2)-1 ∈(0,1]
因此f(x)值域RANGE=[0,1]

下面来讨论a的取值范围：
显然当a=1时，方程f(x)=ax，在x∈[0,1)时，等价于x=1x，此时有无数根，因此不符合题意。
因此a≠1

而
x∈[0,1)时，方程f(x)=ax，即x=ax，只有1个根x=0
x∈[1,+∞)时，f(x)∈RANGE，则f(x)≤1，而ax≥a>1，则此时方程f(x)=ax没有根。
x∈(-∞,-1]时，f(x)∈RANGE，则f(x)≥0，而ax≤-a<0，则此时方程f(x)=ax没有根。
因此在x∈(-1,0)时，方程f(x)=ax，即-x/(x+2)=ax，必须有99个根，才能符合题意
而方程-x/(x+2)=ax，即x=0或-1/a-2，只有两个根，
因此实数a不存在。

Answer 2

(1)f(x+1)=[1-f(x)]/[1+f(x)],①
∴f(x+2)=[1-f(x+1)]/[1+f(x+1)]
={1-[1-f(x)]/[1+f(x)]}/{1+[1-f(x)]/[1+f(x)]}
=f(x),
∴2是f(x)的周期。
(2)当x∈[0,1)时，f(x)=x
x∈[-1,0)时x+1∈[0,1),由①，f(x)=[1-f(x+1)]/[1+f(x+1)]=-x/(x+2).
(3)猜当x∈[0,1)时，f(x)=ax(a>0),
x∈[-1,0)时x+1∈[0,1),由①，f(x)=[1-f(x+1)]/[1+f(x+1)]
=[1-a(x+1)]/[1+a(x+1)],
由（1），f(2k)=f(0)=0,其中k∈Z,
∴a的取值范围是空集。