数学高一上册函数总复习整理

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ewr8881
2013-01-27 · TA获得超过171个赞
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数学考130行么
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芮双6N
推荐于2017-09-26 · TA获得超过376个赞
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一、函数的概念和表示
函数的概念是高中数学中十分重要的概念之一,加深对函数的理解,对学好函数后续知识十分有帮助。对于函数的表示方法,也要掌握好,因为学习函数知识经常用到函数的表示方法。对于分段函数解析式的求法是难点,常用解法是先求出定义域在不同子区间上的解析表达式,然后进行合并。
例1 已知 ,求f(x)。
解:因为 ,所以 ,即
点评:通过观察、分析,将右端“ ”变为“ ”的表达式,这种解法对变形能力有一定的要求。解题中易忽视 的定义域应为 中“ ”的值域。

二、函数的单调性
函数的单调性是函数的重要性质之一,它对了解函数的其他各种信息十分有用。同时,利用函数的单调性解题也是一种重要的方法。
例2 已知函数 (a为正数),且函数f(x)与g(x)的图象交y轴于同一点。
(1)求a的值。
(2)求函数 的单调递增区间。
解:(1)由题意知, ,则 ,所以a=1。
(2)
当 时, ,它在区间 上单调递增;
当 时, ,它在区间 上单调递增。
∴函数 的单调递增区间为 。
点评:如果一个函数的解析式含有绝对值符号,则这个函数可化为分段函数。其常用解法是把各分段上的函数看做独立函数,分别求出它们的单调区间,然后再整合到一起,但要注意分段函数的单调区间一定要在其定义域内。

三、二次函数的图象和性质
二次函数是高中数学中最常见、最重要的函数之一,对二次函数图象上下左右平移,二次函数的定义域、值域、单调性和最大(小)值问题,要熟练掌握。
例3 已知函数
(1)当 时,求函数f(x)的最值。
(2)求实数a的取值范围,使 在区间〔-5,5〕上是单调函数。
解:(1) ,因为 ,所以当x=1时, x=-5时,
(2) ,函数f(x)的对称轴为 ,要使f(x)在区间〔-5,5〕上是单调函数,所以 ,故a的取值范围为
点评:借助二次函数图象的直观性来判断函数的最值时,需要确定二次函数的开口方向及对称轴是否落在区间内。

四、函数知识在解应用题中的作用
解函数应用题一般分为如下四个步骤:
①审题:弄清题意,分析条件和结论,理顺数量关系;
②建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;
③求解:求解数学模型,得出数学结论;
④还原:将得出的结论,还原为实际问题的意义,即作答。
一、给出函数 解析式求其定义域,一般是先列出限制条件的不等式(组),再进行求解。
例1. 求下列函数的定义域:
(1) ;(2) 。
解:(1)要使函数有意义,x需满足 ,解得 。
此函数的定义域为 。
(2)要使函数有意义,x需满足 ,即有 ,解得 ,或 。
此函数的定义域是 。

二. 给出函数 的定义域,求函数 的定义域,其解法步骤是:若已知函数 的定义域为 ,则其复合函数 的定义域应由不等式 解得。
例2. 设函数 的定义域为 ,给出下列函数: , ,其定义域仍是A的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
解:由 ,得 。由 。
由 ,得 。由 ,得 。故选B。

例3. 已知函数 的定义域为(0,1),则函数 的定义域是________。
解:函数 的定义域为(0,1),即 。

函数 的定义域为(2,4)。

三. 给出 的定义域,求 的定义域,其解法步骤是:若已知 的定义域为 ,则 的定义域是 在 时的取值范围。

例4. 已知函数 的定义域为(0,1),则函数 的定义域是________。
解:函数 的定义域为(0,1),即在 。
令 ,于是 中, 。
函数 的定义域为(4,6)。

例5. 函数 的定义域为 ,则函数 的定义域是( )
A. B. C. D.
解:函数 的定义域为 ,即 。
,即函数 的定义域是 。
由 ,得 。
函数 的定义域为 ,应选A。
说明:本题还多了一个层次,即由函数 的定义域求出原函数 的定义域,然后求出函数 的定义域。
求函数值域是高考的热点,同时也是大家学习中的一个难点,在求函数值域时本人总结以下八种方法,供大家参考。
方法一:观察法
例1. 求函数 的值域。
解析:由 。
故此函数值域为 。
评注:此方法适用于解答选择题和填空题。
方法二:不等式法
例2. 求函数 的值域。
解析: ,
此函数值域为 。
评注:此方法在解答综合题时可屡建奇功!
方法三:反函数法
例3. 求函数 的值域。
解析:由 得 。
由 ,得 ,解得 。
此函数值域为 。
评注:此方法适用范围比较狭窄,最适用于x为一次的情形。
方法四:分离常数法
例4. 求函数 的值域。
解析::

从而易知此函数值域为 。
评注:此题先分离常数,再利用不等式法求解。注意形如 的值域为 。
方法五:判别式法
例5. 求函数 的值域。
解析:原式整理可得 。
当 即 时, 原式成立。
当 即 时, ,解得 。
综上可得原函数值域为 。
评注:此方法适用于x为二次的情形,但应注意 时的情况。
方法六:图象法
例6. 求函数 的值域。
解析:作出此函数的图象,如下图所示。可知此函数值域为 。
评注:此方法最适用于选择题和填空题,画出函数的草图,问题会变得直观明了。

方法七:中间变量法
例7. 求函数 的值域。
解析:由上式易得 。
由 。
故此函数值域为 。
评注:此方法适用范围极其狭窄,需要灵活掌握。
方法八:配方法
例8. 求函数 的值域。
解析:因为 ,故此函数值域为 。
评注:此方法需要灵活掌握,常常可以达到意想不到的效果。
函数是高中数学中的重要内容,反函数又是函数的重要组成部分,也是同学们学习函数的难点之一。反函数在历年高考中也占有一定的比例。为了帮助同学们更好地掌握反函数相关的内容,对反函数的性质作如下归纳。
性质1 原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域
在求原函数的反函数及反函数的定义域、值域的有关问题时,如能充分利用这条性质,将对解题有很大帮助。
例1. 函数 的反函数是( )。
A. B.
C. D.
解析:这是一个分段函数,对分段函数求反函数要注意分段求解。由函数解析式可知当 时, ; 时 。由性质1,可知原函数的反函数在 时, ,则根式前面要有负号,故可排除A、B两项,再比较C、D,易得答案为C。

例2. 若函数 为函数 的反函数,则 的值域为__________。
解析:常规方法是先求出 的反函数 ,再求得 的值域为 。如利用性质1, 的值域即 的定义域,可得 的值域为 。
性质2 若 是函数 的反函数,则有 。
从整个函数图象来考虑,是指 与其反函数 的图象关于直线 对称;从图象上的点来说,是指若原函数过点 ,则其反函数必过点 。反函数中的这条性质,别看貌不惊人,在解题中却有着广泛的应用。
例3. 函数 的反函数 的图象与 轴交于点P(0,2),如下图所示,则方程 在[1,4]上的根是 ( )

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
解析:利用互为反函数的图象关于直线 对称, 的图象与 轴交于点P(0,2),可得原函数 的图象与 轴交于点(2,0),即 ,所以 的根为 ,应选C。

例4. 设函数 的图象关于点(1,2)对称,且存在反函数 , =0,则 =_________。
解析:由 =0,可知函数 的图象过点(4,0),而点(4,0)关于点(1,2)的对称点为( ,4)。由题意知点( ,4)也在函数 的图象上,即有 ,根据性质2,可得 。
性质3 单调函数一定存在反函数,且反函数与原函数的单调性一致。
在定义域上的单调函数一定存在反函数,但在定义域上非单调函数未必没有反函数,或者说有反函数的原函数不一定是单调函数。如函数 有反函数,但其在定义域上不是单调函数。
例5 函数 = 在区间 上存在反函数的充要条件是( )
A. B.
C. D.
解析:因为二次函数 不是定义域内的单调函数,但在其定义域的子区间 或 上是单调函数,而已知函数 在区间 上存在反函数,所以 或者 ,即 或 ,应选C。

例6. 已知 是定义在R上的单调递增函数,且有 ,试证明 。
证明:(反证法)假设存在 ,使得 。
∵ 是定义在R上的单调递增函数,
∴由性质3知, 也是R上的单调递增函数。
若 ,则 ,即 ,矛盾。同理,当 时,也可推出矛盾,故假设不成立,则 。
性质4 若 是 的反函数,则 的反函数为 , 的反函数为 。
证明:假设 的反函数为 ,若 ,则 ,即 ,得 。
也就是说原函数向左平移a个单位,则反函数向下平移a个单位,其他情况可同理证明。

例7. 设 ,函数 的图象与 的图象关于直线 对称,求 的值。
解析:∵函数 的图象与 的图象关于直线 对称。
∴ 与 互为反函数。
根据性质4, 的反函数为 。
∴ ,得 。

例8. 设定义域为R的函数 、 都有反函数,并且函数 和 的图象关于直线 对称,若 ,求 的值。
解析:由已知条件可知 与 互为反函数,根据性质4, 的反函数为 ,可得 。
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SwordRain_W
2008-12-24 · TA获得超过467个赞
知道小有建树答主
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找老师问问……老师一般都会在期末复习阶段对整个学期的知识进行总结归纳,不过我的建议还是跟着老师学
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fairhot
2008-12-24 · 超过17用户采纳过TA的回答
知道答主
回答量:51
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没有电子版的复习资料。只有电子版的教材。
还是把书看好了。
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