Question

在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于O点

在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于O点,求证：AE+CD=AC

Answer 1

连接BO并延长交AC于点F，O是三角形ABC角分线交点，所以也是其内切圆圆心，则OF=OD=OE，则三角形ODC与OFC全等，所以CD=FC，同理可知，AE=FA，所以AE+CD=FC+FA=AC。

Answer 2

在△ABC中，∠B=60°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°．
∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠OAC=∠OAB=
1
2
∠BAC，∠OCD=∠OCA=
1
2
∠ACB，
在△OAC中，∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）
=180°-
1
2
（∠BAC+∠ACB）=180°-
1
2
×120°=120°．
∴∠AOE=180°-∠AOC=180°-120°=60°．
在AC上截取AF=AE，连接OF，如图，
在△AOE和△AOF中，AE=AF，∠OAE=∠OAF，OA=OA，
∴△AOE≌△AOF（SAS），
∴∠AOE=∠AOF，
∴∠AOF=60°．
∴∠COF=∠AOC-∠AOF=120°-60°=60°．
又∠COD=60°，
∴∠COD=∠COF．
在△COD和△COF中，∠COD=∠COF，OC=OC，∠OCD=∠OCF，
∴△COD≌△COF（ASA），
∴CD=CF．
又∵AF=AE，
∴AC=AF+CF=AE+CD，
即AE+CD=AC．