Question

相似为什么特征值相等以及相关的其他问题。。。

越看到后面越来越对一些问题模糊
比如：
1、俩矩阵相似为什么特征值相等？所以行列式相等？

2、行列式的值为什么等于特征值的乘积？

3、俩相似矩阵为什么∑aii = ∑bii？也就是迹相等？

4、为什么相似只有在实对称的情况下才能推导出合同？

Answer 1

1.设u是矩阵A的特征值，A=P^（-1）BP，那么|uI-A|=|P^-1||uI-B||P|=0，所以u也是B的特征值。

2.设u1,u2,...,un是A的全部特征值，|uI-A|=(u-u1)(u-u2)...(u-un)
把u=0代入上式，得|A|=u1u2...un。

3.A与B相似，那么他们特征值全部相同，而特征值之和就是迹，所以迹也相等。
简单说明一下为什么特征值之和等于迹：因为
|uI-A|=(u-u1)(u-u2)...(u-un)是一个关于u的n次多项式，观察等式右边可知
u^（n-1）项的系数是 -(u1+u2+...+un)；观察等式左边，由行列式的定义，u^(n-1)的系数是 -(a11+a22+...+ann)，所以∑aii =∑ui 。

4.因为实对称阵就可以用正交矩阵对角化，也就是说
P'AP=D=QBQ', D是由特征值组成的对角阵，
P、Q是对应的正交阵，P'=P^(-1),Q'=Q^(-1)
从而Q'P'APQ=(PQ)'APQ=B,A与B合同。