Question

如图，AB，AC分别是半⊙O的直径和弦

如图，AB，AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作半⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P．连接PC并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是半⊙O的切线；
（2）若∠CAB=30°，AB=10，求线段BF的长．
用初三的知识做

Answer 1

1）证明：连接OC，
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴AD=CD，
∴PA=PC，
在△OAP和△OCP中，

∵OA=OC，PA=PC，OP=OP
∴△OAP≌△OCP（SSS），
∴∠OCP=∠OAP
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°．
∴∠OCP=90°，
即OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线．
（2）解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=30°，
∴∠COF=60°，
∵PC是⊙O的切线，AB=10，
∴OC⊥PF，OC=OB= 1/2AB=5
∴OF= OC/cos∠COF=5/cos60°=10
∴BF=OF-OB=5

追问

第一题谢谢了但是第二题能不能不用三角函数

追答

2、∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=30°，
∴∠OBC=∠ABC=60°
∵OC=OB，∠OBC=60°
∴△BOC是等边三角形，那么∠COB=∠COF=60°，
∵PC是⊙O的切线，AB=10，
∴OC⊥PF，OC=OB= 1/2AB=5
∴RT△COF中：∠F=30°
那么OF=2OC=10
∴BF=OF-OB=5