Question

已知数列{an}满足：a1=1/2,3(1+an+1)/(1-an)=2(1+an)/(1-an+1)

Answer 1

1.
3(1-a²(n 1))=2(1-a²n)
(1-a²(n 1))/(1-a²n)=2/3
令tn=(1-a²n)
则tn为等比数列,首项,t1=3/4,公比为2/3
tn=3/4*(2/3)^(n-1)
(1-a²n)=3/4*(2/3)^(n-1)
a²n=1-3/4*(2/3)^(n-1)
an= ,-√[1-3/4*(2/3)^(n-1)]
an•（an 1）<0,a1>0
所以n为奇时,an>0,an=√[1-3/4*(2/3)^(n-1)]
n为偶时,an<0,an=an=-√[1-3/4*(2/3)^(n-1)]

bn=（an 1）²-an², （n≥1）
bn=1-3/4*(2/3)^n-[1-3/4*(2/3)^(n-1)]
bn=3/4*(2/3)^(n-1)(1-2/3)
bn=1/4*(2/3)^(n-1)

2.
设存在三项为b(m-1),bm,b(m 1)
1/4*(2/3)^(m-1) 1/4*(2/3)^(m 1)=2*1/4*(2/3)^m
1 (2/3)²=2*(2/3)
13/9=4/3,不符,所以不存在.

分析：（1）对
3(1 an 1)
1-an
=
2(1 an)
1-an 1
化简整理得1-
a
2
n 1
=
2
3
(1-
a
2
n
)，令cn=1-an2，进而可推断数列{cn}是首项为c1=
3
4
，公比为
2
3
的等比数列，根据等比数列通项公式求得cn，则a2n可得，进而根据anan 1＜0求得an．
（2）假设数列{bn}存在三项br，bs，bt（r＜s＜t）按某种顺序成等差数列，由于数列{bn}为等比数列，于是有br＞bs＞bt，则只有可能有2bs=br bt成立，代入通项公式，化简整理后发现等式左边为奇数，右边为偶数，故上上式不可能成立，导致矛盾．
解答：解：（Ⅰ）由题意可知，1-
a
2
n 1
=
2
3
(1-
a
2
n
)
令cn=1-an2，则cn 2=
2
3
cn
又c1=1-
a
2
1
=
3
4
，则数列{cn}是首项为c1=
3
4
，公比为
2
3
的等比数列，即cn=
3
4
(
2
3
)n-1，
故1-
a
2
n
=
3
4
(
2
3
)n-1⇒
a
2
n
=1-
3
4
(
2
3
)n-1，
又a1=
1
2
＞0，anan 1＜0
故an=(-1)n-1
1-
3
4
(
2
3
)n-1

（Ⅱ）假设数列{bn}存在三项br，bs，bt（r＜s＜t）按某种顺序成等差数列，
由于数列{bn}是首项为
1
4
，公比为
2
3
的等比数列，于是有2bs=br bt成立，则只有可能有2br=bs bt成立，
∴2•
1
4
(
2
3
)s-1=
1
4
(
2
3
)r-1
1
4
(
2
3
)t-1
化简整理后可知，由于r＜s＜t，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列．<收起

Answer 2

求什么