Question

急！！数列题

设数列An的前n项和Sn,且A1+2A2+2A3…+nAn=(n-1)Sn+2n取出数列An中的第1项，第4项，第7项，……第3n-2项，然后余下的顺序不变，组成新数列Cn，若Cn的前n项和为Tn，求证12/5< T[n+1]/Tn <=11/3

Answer 1

（1）数列{An}的通项为An=2^n.(n=1,2,3,...)在此不求证了。（2）数列{Cn}即是{An}去掉足标为1,4,7，。。。3n-2.的项所得，统一为原足标即是：A1,C2,C3,A4,C5,C6,A7,C8,C9,A10,C11,C12,...C(3n-3),A(3n-2),C(3n-1),C(3n),A(3n+1),...这样，T(n+1),Tn可能是原数列相邻两项的前n项的和，也可能是间隔一项的前n项的和。（一）若是...A(3n-2),C(3n-1),C(3n),...的形式，C(3n-1)对应的新数列的前n项的和T(3n-1)=C(3n-1)对应的原数列前n项的和-去掉的项的和。∴有T(3n)=[2^(3n+1)-2]-[2^(3n+1)-2]/7=6[2^(3n+1)-2]/7.T(3n-1)=[5×2^(3n)-12]/7.===>T(3n)/T(3n-1)=1+{[7×2^(3n)]/[5×2^(3n)-12]}.令x=2^(3n),(x≥8),T(3n)/T(3n-1)=1+[7x/(5x-12)].由函数单调性可知，7/5＜7x/[5x-12)≤2.===>12/5＜T(3n)/T(3n-1)≤3＜11/3.(二）若Tn,T(n+1)是原数列中间隔两项的前n项的和，与上面的讨论一样。

Answer 2

数列An只有n项，n=2时3n-2=4项，2项的数列这么可能取出4项？？

假设An数列求和为A1到A(3n)

A1+2A2+2A3…+nAn=(n-1)Sn+2n

A1+2A2+2A3…+nAn+(n+1)A(n+1)=nS(n+1)+2(n+1)

相减有

(n+1)A(n+1)=nS(n+1)-(n-1)Sn+2

S(n+1)=Sn+A(n+1)代入上式有

(n+1)A(n+1)=nSn+nA(n+1)-(n-1)Sn+2=nA(n+1)+Sn+2

A(n+1)=Sn+2
有
An=S(n-1)+2

A(n)=Sn-S(n-1)=A(n+1)-An
A(n+1)=2An
所以An为等比数列通项，
A1=(1-1)S1+2*1=2
q=a(n+1)/an=2
An=2*2^(n-1)=2^n

S(3n)=2*(2^(3n)-1)/(2-1)=2^(3n+1)-2

取出的数列为
2^1,2^4,2^7...2^(3n-2)为公比为8的等比数列
他们的和
=2*（8^n-1)/(8-1)=(2/7)*(2^(3n)-1)=(1/7)*[2^(3n+1)-2]

Tn=Sn-(1/7)*[2^(3n+1)-2]
=(1/7)*[7*2^(3n+1)-14-2^(3n+1)+2]
=(1/7)*(14*8^n-2*8^n-12)
=(1/7)*(12*8^n-12)

T(n+1)=(1/7)*[12*8^(n+1)-12]=(1/7)*(96*8^n-12)

T1=C1=A2=2^2=4

T[n+1]/Tn =(96*8^n-12)/(12*8^n-12)>(96*8^n)/(12*8^n)=8

T(n+1)/Tn<=T2/T1=(1/7)*(96*8-12)/4=(96*8-12)/28=(96*2-3)/7=27

Answer 3

假设An数列求和为A1到A(3n)

A1+2A2+2A3…+nAn=(n-1)Sn+2n

A1+2A2+2A3…+nAn+(n+1)A(n+1)=nS(n+1)+2(n+1)

相减有

(n+1)A(n+1)=nS(n+1)-(n-1)Sn+2

S(n+1)=Sn+A(n+1)代入上式有

(n+1)A(n+1)=nSn+nA(n+1)-(n-1)Sn+2=nA(n+1)+Sn+2

A(n+1)=Sn+2
有
An=S(n-1)+2

A(n)=Sn-S(n-1)=A(n+1)-An
A(n+1)=2An
所以An为等比数列通项，
A1=(1-1)S1+2*1=2
q=a(n+1)/an=2
An=2*2^(n-1)=2^n

Answer 4

a1=0*s1+2,a1=2
a1+2a2+3a3+...+(n-1)a(n-1)=(n-2)s(n-1)+2(n-1)
与上式相减的
nan=(n-1)sn-(n-2)s(n-1)+2
nan=sn+(n-2)sn-(n-2)s(n-2)+2
nan=sn+(n-2)an+2
sn=2an-2
s(n-1)=2a(n-1)-2
an=2an-2a(n-1)
an=2a(n-1)
an=2*2^(n-1)
an=2^n
cn为首项为2公比为2^3的等比数列
cn=2*(2^2)^(n-1)
cn=2^(3n-2)
显然t(n+1)/tn>8小于等于t2/t1=18/2=9

Answer 5

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