Question

线性代数，求秩 请问r(A+B)，r(A,B)，r(AB)三者的关系是什么？尤其是前两个！！

线性代数，求秩
请问r(A+B)，r(A,B)，r(AB)三者的关系是什么？尤其是前两个！！

Answer 1

有两个定理，一个是r(AB)≤min{r(A),r(B)}，另一个是r(A+B)≤r(A,B)（这是前一个定理的推论，见图）。所以r(AB)≤r(A)≤r(A,B)，但r(AB)与r(A+B)没有一定的大小关系。

Answer 2

R(A+B)<=R(A,B).因为对矩阵列变换，得到R(A,B)=R(A+B,B)>=R(A+B).
R(AB)<=R(A)<=R(A,B).
所以可以得到 R(A,B)>=R(A+B).R(A,B)>=R(AB).而R(A+B)和R(AB)没关系

Answer 3

r(A+B)<=r(A,B)这个比较显然, 因为左面的列向量是右面的列向量的线性组合.

r(A+B) 和 r(AB) 应该没有关系 你可以取B=0 则 r(A+B)>=r(AB); 你可以取 A=-B 则 r(A+B)<=r(AB)
r(A,B)>=max(r(A),r(B))>=r(AB) 这个也比较显然吧

Answer 4

r(A+B) ≤ r(A) + r(B)，r(AB) ≤ min(r(A), r(B)) ， r(AB) ≤ min(r(A), r(B)) ≤ r(A)r(B)。这个高等代数教材上有证明过程，参考丘维声《高等代数》上册清华大学出版社。

Answer 5

没有第二种表示方法
r(a+b)<=r(a|b)<=r(a)+r(b)
r(ab)<=min(r(a),r(b))
如果a乘b为零矩阵
则r(a)+r(b)<=n
有不懂的欢迎追问