Question

设函数f(x)=2^x/1+2^x—1/2，[x]表示不超过x的最大整数，则函数y=[f(x)]+[f(-x)]的值域

Answer 1

f(x)=2^x/(1+2^x)-1/2
=(2^x-1)/[2(2^x+1)]
=(1/2)-1/(2^x+1)，x∈R.
对于任意x∈R，2^x>0，
2^x+1>1，0<1/(2^x+1)<1，-1/2<(1/2)-1/(2^x+1)<1/2.
∴函数f(x)的值域为（-1/2，1/2）.
又f(-x)= [2^(-x)-1]/[2(2^(-x)+1)]=-f(x)，
∴函数f(x)为奇函数，f(-x)=-f(x).
①当-1/2<f(x)<0时，0<f(-x)<1/2，
∴【f(x)】= - 1，【f(-x)】=0，y= -1 ；
②当f(x)=0时， f(-x)=0，
∴【f(x)】= 0，【f(-x)】=0，y= 0 ；
③当0<f(x)<1/2时，-1/2<f(-x)<0，
∴【f(x)】= 0，【f(-x)】=-1，y= -1，
∴所求函数y的值域为{-1,0}.