Question

设函数f(x)=(2^x)/(1+2^x)-1/2,[x]表示不超过x的最大整数，则函数y=[f(x)]+[f(-x)]的值域为多少？

f(x)=2^x/(1+2^x)-1/2
=(2^x-1)/[2(2^x+1)]
=(1/2)-1/(2^x+1)，x∈R.
对于任意x∈R，2^x>0，
2^x+1>1，0<1/(2^x+1)<1，-1/2<(1/2)-1/(2^x+1)<1/2.
∴函数f(x)的值域为（-1/2，1/2）.
又f(-x)= [2^(-x)-1]/[2(2^(-x)+1)]=-f(x)，
∴函数f(x)为奇函数，f(-x)=-f(x).
①当-1/2<f(x)<0时，0<f(-x)<1/2，
∴【f(x)】= - 1，【f(-x)】=0，y= -1 ；
②当f(x)=0时， f(-x)=0，
∴【f(x)】= 0，【f(-x)】=0，y= 0 ；
③当0<f(x)<1/2时，-1/2<f(-x)<0，
∴【f(x)】= 0，【f(-x)】=-1，y= -1，
∴所求函数y的值域为{-1,0}.

这种解答不对啊！比如最后，-1/2<f(-x)<0时，，【f(-x)】应该为零啊！！！

Answer 1

你好！

你还是没有理解 取整函数 [x]
[x]表示不超过x的最大整数

★关键词1：不超过x
也就是说 [x] ≤ x

-1/2<f(-x)<0时，如果按你说的 [f(-x)] = 0

那 [f(-x)] > x 了，显然错误

★关键词2：最大整数
以 x = - 1/4 为例
不超过 -1/4 也就是小于等于 -1/4 的整数有 -1,-2,-3,……
我们要取最大的，也就是 - 1
所以 [ -1/4 ] = - 1

因此 -1/2 < f(-x) < 0 时 ，[ f(-x) ] = - 1

Answer 2

-1/2<f(-x)<0时，，【f(-x)】=-1，不是等于0
[x]表示：x小于0时，[x]=x的整数部分-1；x大于等于0时，[x]=x的整数部分

Answer 3

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