Question

几道数学题请详解~

一）若f(x)=ax3+bc2+cx+d(a>0)为增函数则abc的关系是
二）函数2X^3-3(a+1)X^2+6aX+8,其中a为实数，若函数在负无穷到零上是增函数，求a的取值范围
三）若向量OB（2,0）OC(2,2)CA(√2cosα，√2sinα）则向量OA与OB的夹角范围为
四）△ABC中，∠BAC120°，AB为2，AC为1，D是BC边上一点，且CD=2DB，则AD*BC=
五）函数y=cos2x+sinx在零到90°上的最大值为

Answer 1

1、求导
f'(x)=3ax^2+2bx+c>0
Δ=4b^2-12ac<0即可
2、再求导
f'(x)=6x^2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a)
由于f'(x)开口向上，
而在x<0,f'(x)>0成立
（I）对称轴x=(a+1)/2<0
即a<=-1
min[f'(x)]=(-36a^2+72a-36)/24=(-3/2)(a-1)^2>0所以a<=-1可以

若a>-1,min[f'(x)]=f'(0)=6a>0,a>0
综上a<=-1或a>0
3解：B点和C点是确定的，而且是很简单的关系。而CA=(√2cosα, √2sinα),很明显这是一个以C为圆心，以√2为半径的圆。求OA与OB的夹角范围，也就是求OA的范围。明显求边界，即：两条切线。连接切点很容易看出，那是两个直角三角形。直角边即圆的半径=√2，斜边=2√2，容易求出夹角范围：15度-75 度
4、解：以A为原点，以AC为X的正半轴建立直角坐标系
则A(0,0),C(1,0),B(-1,√3）
所以D（0，√3/2）
向量BC=(2,√3),向量AD=(0，√3/2)
向量AD*BC=3/2
5、解：y=1-2sin^x+sinx
=-2[(sinx-0.5)^2]+1.5
当x=六分之π，最大值1.5