Question

证明：三角形的三个内角的余弦值和最大为1.5。

Answer 1

设三个内角为：a,b,c=π-a-b
则：
cosa+cosb+cosc
=[cosa+cosb]-cos(a+b)
=2[cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)]-[2cos^2((a+b)/2)-1]
=1+2*[ cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)-cos^2((a+b)/2)]
=1+2*{1/4*cos^2((a-b)/2) -[cos((a+b)/2)-1/2*cos((a-b)/2)]^2}
≤ 1+1/2*cos^2((a-b)/2)=1.5
故当a=b=c时：cosa+cosb+cosc 最大等于 1.5

Answer 2

设三个内角为：a,b,

则c= π-a-b

∴cosa+cosb+cosc

=[cosa+cosb]-cos(a+b)

=2[cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)]-[2cos²((a+b)/2)-1]

=1+2×[ cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)-cos²((a+b)/2)]

=1+2×[1/4×cos²((a-b)/2) -[cos((a+b)/2)-cos((a-b)/2)]²

≤ 1+1/2×cos²((a-b)/2)=1.5

∴当且只当a=b=c=60°时，cosa+cosb+cosc 有最大值 1.5