Question

已知函数f(x)=(2x+3)/3x,数列{an}满足a1=1,an+1=f(1/an)，n∈N*.

求数列{an}的通项公式
设Tn=a1a2-a2a3+a3a4-···+（-1）n-1 ana(n+1) 若Tn≥tn²对n属于N*恒成立，求t的范围

Answer 1

f(x)=(2x+3)/3x化简：=2/3+1/x
所以an+1=f(1/an)=2/3+an，为d=2/3的等差数列。
所以an=1+2(n-1)/3.
这是第一问。

第二问：
Tn=a1a2-a2a3+a3a4-···+（-1）n-1 ana(n+1)
=1*5/3-5/3*7/3+……+(-1)^(n-1)*(1+2n)/3*(3+2n)/3
=1/9*(3*5-5*7+……+(-1)^(n-1)*(1+2n)*(3+2n))

当n为偶数时，Tn<0。这是因为把括号里按顺序每两项划为一组，则每一组都是负的，总和也是负的。
当n位奇数时，Tn>0.把括号里第一项3*5拿掉不看，剩下的每两项划为一组，则每一组都是正的，总和也是正的。再加上3*5还是正的。

题目说Tn≥tn²，则t一定是负的，并且只要考虑n为偶数就行了（因为n为奇数恒成立）。
设n=2m，（n为偶数）
Tn
=1/9*(3*5-5*7+7*9-9*11+……-(1+4m)*(3+4m))
每两个为一组，
=-1/9*(5*4+9*4+……+(1+4m)*4)
按等差数列求和，
=-4/9*(5+1+4m)*m/2
=-4/9*(3+2m)*m
=(-8/9)m^2-(4/3)m

由于n=2m带入：
Tn=-(2/9)n^2-(2/3)n

由于要Tn≥tn²，带进去：
-(2/9)n^2-(2/3)n>=tn^2对任何n>=1都成立，
即-(2/9)n^2-(2/3)n<tn^2没有n>=1的解。
用判别式解出t（很麻烦，但是我没找到更好的办法）

得出t<=-8/9

Answer 2

由题意得 a(n+1)=f(1/an)=(2/an+3)*an/3=2/3+an
a1=1
a2=2/3+a1
a3=2/3+a2
. .
. .
. .
an=2/3+a(n-1)
等式两边相加得 a1+a2+a3+...+an=1+2/3+a1+2/3+a2+....+2/3+a(n-1)
数列{an}的通项公式为an=1+(n-1)*2/3

Answer 3

前面一样,对于Tn≥tn²的时候，不需要用根的判别，把-(2/9)n^2-(2/3)n>=tn^2化成
T≤-2/9-2/(3n) (就是把n^2除到左边去）
根据单调性可知为单调增，所以当n=1时有最小值-8/9.