Question

一道数学求值域的问题，答案看不明白

题目是求：y= x + √(1-x^2) {就是y=x+ 根号下，1减去x的平方}
它答案是用三角换元来解的，因为 x属于【-1，1】
所以可设 x = cos t ，就是这里了，它是限定 t 的范围是 t属于【0，π】，为什么是0到派，而不是2派？我觉得这个t应该是没有范围限定的。
然后它解的结果和没有限定t的范围的结果是不同的，为什么啊？想不通？？！？

Answer 1

首先算出来x∈[-1，1]，
而在t∈[0,π]的时候，cost的取值范围就是[-1，1]，
你取再大范围的t也没有什么意义了。因为t范围再大。cost的取值都在t∈[0,π]取到了。
因为这道题是要算值域。你只要找到一个t的范围使得cost的取值在[-1，1]内就行了，就是说设的t的范围可以很多。随便你设。只要在这个范围内。cost的取值是x的取值。就是[-1，1]就行了。。
“答案”就选择了一个比较方便的范围。范围小。又不用讨论。这样就不容易出错。
不知道看明白了发？。反正我翻来覆去的就是一个意思。应该明白了吧。
这道题就是因为算值域。t的范围就不需要那么完整了。取一段就行了。

Answer 2

因为根号下的值只能>=0，所以要限定啊。你画一下cost函数的图就知道了。这是一个比较小，但需要经常注意的问题。

Answer 3

因为 x = cos t，当cos t中的t到派时，cos t就能取到它的值域的上限，所以就没必要是2派了。（cos x是周期函数哦）

要是还是不太明白，就加我的qq，qq：1021131893

Answer 4

x∈[-1，1]，及说明-1＜x＜1
如果用换元来解，设 x = cos t 时，
应该要有cos t ∈[-1,1]，这时候 t 确实是没有范围限定的。
但是因为换元后解式子得：
y=cos t + √[1-（cos t）^2]
=cos t +√[（sin t）^2]
这个时候要注意根号，如果t∈[0,π],式子可以继续解，但是当t∈[0，2π]时，
则要考虑 sin t 的取值就可大于0或者小于0了。
当t∈[0,π]时,有y=cos t + √[1-（cos t）^2]
=cos t +√[（sin t）^2]
=cos t + sin t 此时(1≥sin t≥0)
t∈[π，2π]时,有y=cos t + √[1-（cos t）^2]
=cos t +√[（sin t）^2]
=cos t + sin t 此时(-1≤sin t≤0)
但是根据原式子y= x + √(1-x^2) ，√(1-x^2)的部分应该是大于或等于零的，因此应该是t∈[0,π]。

额……好长……不知道你理解了没……

Answer 5

对头，问题是sin的取值范围问题，而不是2楼说的什么cos图像

Answer 6

首先你要知道cos（0，派）的值域恰好是〔-1,1],cos（0，2派）也是〔-1，1〕！因为你选择的范围是〔0，2派〕，sinx开根号就有正负，你没有讨论，所以出错。但是讨论比较麻烦，如若认真做，也会做到正确结果的。祝你好运