Question

请教一道数学题，请，高手进。

若有理数Q属于M，则数集M必为数域 判断对误
这句话是错的
它的解释是这样：设M中除了有理数外还有另一个元素根号2，则Q属于M，因为2属于整数所以2倍根号2也必须在M内，而2倍根号2不属于M，故错。
非常非常不能理解它的解释....
不懂(⊙_⊙)？它的解释为什么要设是根号2？
然后一个人告诉我：由于数域的要求就是任何一个元素，经过加、乘运算之后还属于这个集合才可以。
所以，如果根号2属于M，2是有理数所以属于M，但是根号2和2相乘所得的结果不在M里，它既不是根号2也不是有理数，所以这不是数域。
我还是不能明白，请高手告诉我，谢谢！
既然M属于Q为什么要设根号2属于M？这个解释...不能理解

Answer 1

总而言之，言而总之，这个题目你不懂，是因为你不懂数域的概念！
弄清数域的概念，这个题目你基本上就了解了。
数集m要想是数域，他必须满足对于加减乘除的运算封闭，才能叫做数域。什么是运算封闭呢？比如有理数集，它里面的数经过运算，结果还是有理数，他不会得到无理数。所以有理数集就是数域。而题中m包括有理数，它还可能包括无理数。但是包括的无理数的个数不能确定。所以如果只包括一个无理数，那么经过加减乘除的运算后（比如根号2加根号2得到2倍根号2）会得到别的无理数，这样就出现了集合m以外的数，所以m不一定具备封闭性。所以m不一定是数域！
对于数域的解释可能还不够细致，你可以在网上查找一下概念，或者找大学的代数数看看，这个概念大学才学。

Answer 2

题设是有理数Q属于M，那就要构造一个这样的M作为反例。所以选择了除Q外还有一个无理数元素根号2的特例。事实上选择根号3，根号5或者pi，e都是一样的。然后这个例子的确能说明原命题不成立。

Answer 3

数域对于＋－×÷是封闭的
就是说，数域A中的数通过＋－×÷所得到的数仍在数域A中
“它”的解释没错，
令M={√2}∪Q，则 2∈M，√2∈M
但2×√2=2√2不属于M（不属于符号没找到）
故这句话错