Question

求Y=x²+5/根号下x²+4 的最小值

Y=x²+5/根号下x²+4

=1/根号下x²+4 +根号下x²+4

利用单调性求解：

Y=t+1/t

请问：此时的t为什么≥2、这道题接下来怎么做？

Answer 1

这道题是这样。
Y=x²+5/根号下x²+4
=【（x²+4）+1】/（根号下x²+4）
=(根号下x²+4)+(1/根号下x²+4 )
设t=(根号下x²+4)
因为t=(根号下x²+4）
所以t恒大于根号4，所以t大于2。
假如你学过导数，求导用斜率算很直接，如果没学过，用下面的方法：
设Y1=t1-(1/t1)
Y2=t2-(1/t2)
且t1＞t2≥2
Y1-Y2=(t1-t2)+[(1/t1)-(1/t2)]
=[(t1-t2)t1t2-(t1-t2)]/(t1t2)
=(t1-t2)(t1t2-1)/(t1t2)
因为t1＞t2≥2
所以，t1-t2＞0
t1t2＞4
所以有=(t1-t2)(t1t2-1)/(t1t2)恒大于0
也就是说对任意t≥2的情况下函数y都是单调递增的。
所以t=2时候，函数区最小值
y=5/2
此时x=0

Answer 2

将Y求导：
Y'=1-1/t^2
当t=1时 => Y'=0
所以在(0,1)上单调递减，在(1,+无穷)上单调递增
已知t≥2，所以Y应该是单调递增
所以在t=2时，取得最小值，Y=2.5
祝学习愉快～