Question

设函数y=f(x)是定义在(0,正无穷)上的函数，并且满足下面两个条件： 1. 对于任意正数x，y都有f(xy)=f(x)+f(

设函数y=f(x)是定义在(0,正无穷)上的函数，并且满足下面两个条件：
1. 对于任意正数x，y都有f(xy)=f(x)+f(y)；
2.当 x＞1时，f(x)＜0
试判断y=f(x)在(0,正无穷)上的单调性

Answer 1

令u=xy，v=x，显然u v均大于零，属于f的定义域
代入f(xy)=f(x)+f(y)得：f(u)=f(v)+f(u/v)
即：f(u/v)=f(u)-f(v)
设x1>x2>0，则x1/x2>1,f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)<0
即f(x)为单调递减函数