Question

定积分 上限是1，下限是-1

(x^2sinx+2 )dx=()
A.1 B.2 C.3 D.4
我想搞清楚这道题怎么做，不只是要选项，最重要的是要有详细的解题过程，谢谢！

Answer 1

答案 : D

∫(-1⟼1)(x²sinx + 2)dx
=∫(-1⟼1)x²d(-cosx) + ∫(-1⟼1)2dx
= -x²cosx(-1⟼1) + ∫cosxdx² + 2x(-1⟼1)
= -[cos1 - cos(-1)] + 2∫xcosxdx + 2[1 - (-1]
= -0 + 2∫xdsinx + 4
= 2xsinx(-1⟼1) - 2∫sinxdx + 4
= 2[sin1 - (-1)sin(-1)] + 2cosx(-1⟼1) + 4
= 2[sin1 - sin1] + 2[cos1 - cos(-1)] + 4
= 0 + 0 + 4
= 4

从上面的详细积分年过程，我们验证了，奇函数在对于原点对称的区间上积分为0。

也就是只要 ∫2dx （-1⟼1） = 2x(-1⟼1) = 4 就 OK 了。

Answer 2

D
首先定积分具有线性性质，即可以将积分号移至积分表达式中加减号处，所以原积分化为对x^2sinx和2的积分和（在[-1,1]上）. 又x^2sinx为奇函数，在关于y轴对称的区间积分为零，所以总的积分值为∫2dx=4

Answer 3

D
x^2sinx是奇函数,积分为0,只要2积分