Question

二次函数最值问题，求帮助

已知a、b、c为正整数,方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2(x1≠x2),且│x1│<1,│x2│<1，则a+b+c的最小值为？答案是11

思路：f(x)=ax^2+bx+c
则由题意可知
f(1)>0
f(-1)>0
-1＜f(-b/2a)<0
b^2-4ac>0

不会解这4个方程饿...高手帮帮忙，谢谢了

Answer 1

你这个第三个不等式“-1<f(-b/2a)<0”是怎么来的？
如果按题意，应该是 -1<-b/(2a)<1，即对称轴在-1与1之间，其余条件 f(1)>0，f(-1)>0，b²-4ac>0 都是没问题的。
如果第三个条件改成“-1<-b/(2a)<1”，那么有如下的做法：

由 f(-1)>0 知 a+c>b,
由 -1<-b/(2a) 可知 2a>b，将 2a>b 代入 b²>4ac 可知 b>2c，所以 2a>b>2c.
因为a,b,c均为正整数，所以 c≥1，这样，由 2a>2c 即知 a≥2.
再由 b^2>4ac≥4a≥8 即知 b>=3.
当b=3时，4ac<9，a=2，c=1，a+c=b，与 f(-1)>0 矛盾。
当b=4时，4ac<16，ac<4，因为2a>b>2c，所以a=3 c=1，与 f(-1)>0 矛盾。
当b=5时，4ac<25，ac<=6，因为2a>b>2c，所以a=5 c=1 或者 a=3 c=2.
因为 a=3，c=2 与 f(-1)>0 矛盾，所以只能有 a=5，c=1.
因此 y=5x^2+5x+1符合要求。
下来说明一下这个是最小的就行了。
因为前面已经说明了 b≤5 的情况，所以如果有更小的，则必有 b≥6，此时 2a>b，所以 a≥4，又 c≥1，因此 a+b+c≥11，所以上述 f(x)=5x²+5x+1 确实能使 a+b+c 达到最小。

综上，a+b+c 的最小值为11，此时对应的二次函数为 f(x)=5x²+5x+1.