Question

设a,b,c是正整数，关于x的二元一次方程ax^2+bx+c=0的两实数根的绝对值均小于1/3， 求a+b+c的最小值

Answer 1

【解】：a,b,c是正整数
记f(x)=ax^2+bx+c，f’(x)=2ax+b
根据韦达定理可知两根同号；
f’(0)=b>0，0点斜率为正，所以两根同负；
则，根据题意有：
f(-1/3)=a/9-b/3+c>0
Δ=b^2-4ac>0
-b/2a>-1/3
化简得：
a-3b+9c>0
b^2>4ac>6bc，得：b>6c
得：2a>3b>12c
Min[c]=1，Min[b]=5，Min[a]=8
Min[a+b+c]=14。

Answer 2

解：由题设可知,⊿=b²-4ac≥0.===>b²≥4ac.若方程的两根为x1≤x2,则由题设可得-1/3＜x1≤x2＜0.数形结合可知，(a/9)-(b/3)+c＞0,且对称轴-1/3＜-b/(2a)＜0.∴整理可得：2a＞3b,且a+9c＞3b,且b²＞4ac===>2a＞3b＞18c.结合前者，可知，a=16,b=8,c=1.∑min=25.