Question

已知函数f(x)=-x*3+ax在【0，1】上是增函数，求实数a的取值范围

Answer 1

方法一：令1>x2>x1>0
f(x2)=-x2^3+a*x2
f(x1)=-x1^3+a*x1
f(x2)-f(x1)=(x2-x1)(a-(x1^2+x2^2+x1*x2))
要使f(x)=-x^3+ax在(0,1)上是增函数
则f(x2)-f(x1)=(x2-x1)[a-(x1^2+x2^2+x1*x2)]>=0
a>=x1^2+x2^2+x1*x2
由于1>x2>x1>0
说以a>=3时满足f(x2)-f(x1)=(x2-x1)[a-(x1^2+x2^2+x1*x2)]>=0
a>=3
方法二：如果学了导数就简单多了，直接对f（x）求导数就行了
f'(x)=-3*x^2+a
要使f(x)=-x^3+ax在(0,1)上是增函数
必须有f'(x)=-3*x^2+a>=0 (1>x2>x1>0)
解出a>=3

Answer 2

f'(x)=-3x^2+a
x∈[0，1]，f'(x)≥0

又f'(x)在[0，+∞）上是减函数，
所以只需f'(1)=-3+a≥0
得a≥3