Question

一个有关刚体转动的问题

光滑水平面上静止地放着质量为M，长为l的均匀细杆，质量为m的质点以垂直于杆的水平速度v0与杆的一端做完全非弹性碰撞，试求：1、碰后系统质心的速度及绕质心的角速度是多少？ 2、实际的转轴（即静止点）位于何处？他的解答是这样的：见图片。

Answer 1

实际上绕哪个点都是角动量守恒。
绕瞬心或质心转动是最简单的取法：
（1）取瞬心：
假定瞬心距端点为x
撞后端点速度：v’=ωx
中点速度：Vc=ω(x-Rc)
碰撞过程中总动量守恒：mv=mv'＋MVc=mωx ＋Mω(x-Rc）①
碰撞过程中绕瞬心的角动量守恒:
mvx=[Ic M(Rc-x)^2＋mx^2]ω ②
其中Ic=1/12ML^2,Rc=L/2
由①②
M(x-Rc)Rc=Ic
x=2L/3
（2）取杆的质心：
撞后杆的角动量：∫M/L(Vc＋ω(y-Rc))(y-Rc)dy＝Icω
（3）取任意转轴：
取端点为R，质心为Rc，任意一点Ri，转轴x。
撞后杆的角动量：
∑Mi[Vc＋ω(Ri-Rc)](Ri-x)
＝MVc(Rc-x)＋∑Miω(Ri－Rc＋Rc－x)(Ri－Rc)
＝MVc(Rc-x)＋∑Miω(Ri－Rc)^2＋∑Miω(Ri－Rc)(Rc－x)
＝MVc(Rc-x)＋∑Miω(Ri－Rc)^2
＝MVc(Rc-x)＋Icω
m角动量的变化量：
m(R－x)v＝m(R－x)v'＋MVc(Rc-x)＋Icω③
动量守恒：m(v－v')＝MVc④
取③中x＝Rc即退化为杆质心为转轴的问题，也即你的问题；取瞬心x＝Xo，这时Vc＝ω(Rc－Xo)，v'＝ω(R－Xo)可退化为②。
实际上结合③④可得：
MVc(R－Rc)＝Icω⑤
可发现该式与转轴x的选择无关，进一步佐证了转轴可任意选取。