Question

两道高一的数学题~请高手解答！

1、已知数列{xn}满足x1=x2=1,并且x(n+1)/xn=λ*xn/x(n-1)（λ为非零参数，n=2,3...)
(1)若x1 x3 x5成等比数列，求参数λ的值
(2)设0<λ<1，常数k属于自然数且K>=3，证明x(1+k)/x1+x(2+k)/x2+...+x(n+k)/xn<λ^k/(1-λ^k) （n属于自然数）

2、已知数列{an}满足：a1=3/2,且an=3n*a(n-1)/(2a(n-1)+n-1) (n>=2,n属于自然数)
(1)求数列通项
(2)证明：对于一切正整数n，不等式a1 a2...an<2*n!恒成立

PS：我是准备升高二的理科生，这是暑假发的一张卷子里面的题目，共有11题，这两题分别是第四和第十题（难度应该和题目的分布有关系吧……）
我尚未接触到高二的理科，但是老师说这张卷理科生必做，但是我觉得很难啊……因此我想问下大家这样子的题目在高考是什么难度？？作为一个理科生面对这种题目应该掌握到什么程度呢？？万分焦虑啊 谢谢！
[刚注册的号，把所有积分都拿出来了，就这么多了……辛苦大家]
麻烦给个详细的过程吧~ 这两题我没啥头绪。

Answer 1

解：1：⑴由题可知，bn=x(n+1)/xn为等比数列，
且公比为λ，bn=b1*λ^(n-1),
而b1=x2/x1=1,所以bn=λ^(n-1),得b4=λ^3,b3=λ^2,b2=λ,得x3=λ*x2=λ,x4=λ^2*x3=λ^3,x5=λ^3*x4=λ^6,
又x1 x3 x5成等比数列，x1=1,x3=λ,x5=λ^6，
所以x1*x5=X3^2,得λ^6=λ^2,λ为非零参数,
故λ=±1.
⑵由⑴可知，bn=λ^(n-1),即x(n+1)=λ^(n-1)*xn，
归纳，再分式相乘得通项公式为Xn=λ^((n-1)(n-2)/2),
所以x(n+k)/xn=λ^[(k^2-3k+2nk)/2],公比为λ^k
则x(1+k)/x1+x(2+k)/x2+...+x(n+k)/xn
={λ^[(k^2-k)/2]*(1-λ^(nk))}/(1-λ^k),
而0<λ<1，常数k属于自然数且K>=3，
λ^[(k^2-k)/2]*(1-λ^(nk))<λ^[(k^2-k)/2],K>=3,
所以k^2-3k≥0恒立，即(k^2-k)/2>k,0<λ<1,
故λ^[(k^2-k)/2]<λ^k,而分母一样，所以原不等式得证。

2：⑴倒数，可化简得1/an=2/3n+(n-1)/3na(n-1),两边同乘以n,
得n/an=2/3+（1/3）*（n-1)/a(n-1),
可用待定系数法，求得[n/a(n)] -1为等比数列，且等比为1/3,
于是[n/a(n)] -1=-（1/3)^n,
得，a(n)=n/(1-(1/3)^n){=n*3^n/(3^n-1)}
(2)a(n)=n*3^n/(3^n-1)=n*(1+1/(3^n-1)）,
所以该数列各项之积为：
n!*(1+1/(3-1))(1+1/(3^2-1))(1+1/(3^3-1))……(1+1/(3^n-1))
下面用数学归纳法证明(1+1/(3-1))((1+1/(3^2-1))(1+1/(3^3-1))……
(1+1/(3^n-1))<2-1/3^n （右边这个数是根据左边式子的特点构造的）
①n=1时，3/2<5/3 ,显然成立。
②假设n=k时成立，即有(1+1/(3-1))((1+1/(3^2-1))(1+1/(3^3-1))……
(1+1/(3^k-1))<2-1/3^k
则n=k+1时，(1+1/(3-1))((1+1/(3^2-1))(1+1/(3^3-1))……
(1+1/(3^(k+1)-1))<(2-1/3^k) (1+1/(3^(k+1)-1)
=(2*3^k-1)/(3^k)*(3^(k+1))/(3^(k+1)-1)
=3(2*3^k-1)/(3^(k+1)-1)
=(2*3^(k+1)-3)/(3^(k+1)-1)
=(2*3^(k+1)-2-1)/(3^(k+1)-1)
=2-1/(3^(k+1)-1)
<2-1/(3^(k+1))
这说明:n=k+1时不等式成立。
综合①②知:不等式对任意正整数n都成立。
即有：(1+1/(3-1))((1+1/(3^2-1))(1+1/(3^3-1))……
(1+1/(3^n-1))<2-1/3^n
而2-1/3^n <2显然成立。
∴该数列各项之积<2n!

Answer 2

①1.当n=2时，代入（X(n+1))/Xn=Y(Xn/X(n-1))求得X3=Y
当n=3时，代入（X(n+1))/Xn=Y(Xn/X(n-1))求得X4=Y^3
当n=4时，代入（X(n+1))/Xn=Y(Xn/X(n-1))求得X5=Y^6
因为X1，X3，X5为等比数列，则Y：1=Y^6：Y即Y^4=1，Y=正负1
2.数列Xn的通项公式为：Xn=Y^((n-1)(n-2)/2),则（X(n+100)）/Xn=Y^(100n+4850),a=100,b=4850
②

Answer 3

不难概念搞清就行了。打字很烦啊，有不懂得Q我吧。