Question

已知，椭圆C经过点A(1,3/2),两个焦点为(-1,0),(1,0).

1）求椭圆方程
2）E、F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值

Answer 1

（1）a²-b²=c² =1
设椭圆方程为x²/（b²+1）+y²/b²=1
将（1，3/2）代入整理得4b^4-9b²-9=0 解得b²=3 （另一值舍）
所以椭圆方程为x²/4+y²/3=1
（2）
设AE斜率为k
则AE方程为y-(3/2)=k(x-1)①
x²/4+y²/3=1 ②
①，②联立得出两个解一个是A（1,3/2）另一个是E（x1，y1）
①代入②消去y得（1/4+k²/3）x²-（2k²/3-k）x+k²/3-k-1/4=0
根据韦达定理 x1·1=（k²/3-k-1/4）/（1/4+k²/3）③
将③的结果代入①式得
y1=（-k²/2-k/2+3/8）/(1/4+k²/3)

设AF斜率为-k，F（x2，y2）
则AF方程为y-（3/2）=-k（x-1）④
x²/4+y²/3=1 ②
②④联立同样解得
x2=（k²/3+k-1/4）/（1/4+k²/3）
y2=（-k²/2+k/2+3/8）/（1/4+k²/3）
EF斜率为
（y2-y1）/(x2-x1)=1/2
所以直线EF斜率为定值，这个定值是1/2。