Question

如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG，若O为EG的中点，OA的延长线交BC于点H

如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG，若O为EG的中点，OA的延长线交BC于点H
求证：AH⊥BC
http://wenku.baidu.com/view/b4fd1008763231126edb1136.html
第3和第4题

Answer 1

证明：

OA与OH共线，所以向量AO与向量BC的数量积为0即可证出AH⊥BC

我用AB表示向量AB，即此时字母AB都有方向性，下边的都是如此，

2AO=AG+GE

过A作直线BC的平行线交FG于M，交DE于N，

2AO*BC
=(AG+AE)*BC
=AG*BC+AE*BC
=-|AG||BC|cos∠GAM+|AE||BC|cos∠EAN
=|BC|*(-|AB|*sin∠MAB+|AC|*sin∠NAC)
=|BC|*(-|AB|sin∠ABC+|AC|sin∠ACB)

设BC上的高长为h,

上式=|BC|(-h+h)=0

所以AO与BC垂直，即AH⊥BC

谢谢