Question

已知圆C1：x^2+y^2-2x-4y+m=0,直线x+2y-4=0与圆C1相交于MN两点，以MN为直径作圆C2

1）求圆C2的圆心C2的坐标
2）过原点O的直线L与圆C1,C2都相切，求直线L 的方程
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Answer 1

题目内容：已知圆C的方程x^2+y^2-2x-4y+m=0(m∈R)(1)求m的取值范围(2)若圆C与直线x+2y-4=0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值(3)在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程 最佳答案：

(1)x^2+y^2-2x-4y+m=0

(x-1)^2+(y-2)^2=5-m这是圆的标准方程,

5-m=r^2＞0.

所以m＜5.

(2)圆C与直线x+2y-4=0相交，则交点纵坐标满足[(4-2y)-1]^2+(y-2)^2=5-m，

即5y^2-16y+m+8=0.

设交点坐标为：M(x1,y1)、N(x2,y2)

.则①y1+y2=16/5，

y1*y2=(m+8)/5；②利用x1=4-2y1，x2=4-2y2，有：x1*x2=(4-2y1)*(4-2y2)=16-8(y1+y2)+4*y1*y2③将①代入②得x1*x2=16-128/5+4*(m+8)/5=(4m-16)/5.④又因为OM⊥ON，所以(y1/x1)(y2/x2)=-1.即y1*y2=-x1*x2.⑤综合①③④可解得：5m=8, m=8/5.

（3）在【2】的条件下，y1=4/5，y2=12/5，x1=12/5，x2=-4/5,M(12/5,4/5)，N(-4/5,12/5)。以MN为直径的圆的圆心为(4/5,8/5)，半径为R=|MN|/2=(4/5)√5.方程为(x-4/5)^2+(y-8/5)^2=16/5.