Question

已知圆C1：x2+y2-2x-4y+m=0，直线x+2y-4=0与圆C1相交于M，N两点，以MN为直径作圆C2（Ⅰ）求圆C2的圆心C2

已知圆C1：x2+y2-2x-4y+m=0，直线x+2y-4=0与圆C1相交于M，N两点，以MN为直径作圆C2（Ⅰ）求圆C2的圆心C2坐标；（Ⅱ）过原点O的直线l与圆C1、圆C2都相切，求直线l的方程．

Answer 1

（Ⅰ）设圆心C₂坐标为（x，y）．，
过圓心C₁（1，2）且与直线x+2y-4=0垂直的直线方程为y=2x，
∴

x+2y?4＝0 y＝2x

，解得

x＝ 4 5 y＝ 8 5

又因为圆C₂的半径为r＝

( 4 5 )2+( 8 5 )2

＝

4 5

5

∴圆C₂的方程为(x?

4

5

)2+(y?

8

5

)2＝

16

5

．

（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx，圆C₁的半径为r₁，圆C₂的半径为r₂．C₁到直线y=kx的距离为d₁，C₂到y=kx的距离为d₂．
则d₁=r₁，d₂=r₂．
由图形知，r₁²=r₂²+C₁C₂²，
∴d1