Question

已知函数y=√（ax²-ax+1／a）的定义域为R，求实数a的取值范围。过程要详细呦:）

为什么要a>0且△≤0

Answer 1

函数y=√（ax²-ax+1／a）必须满足ax²-ax+1／a≥0恒成立，即由已知可得
x∈R时，ax²-ax+1／a≥0恒成立，此时a≠0，否则ax²-ax+1／a无意义
也就是说此方程式为一元二次不等式，可令f(x)=ax²-ax+1／a,
则根据二次函数的性质，可以知道当且仅当a>0且△≤0时，f(x)≥0恒成立
△=(-a)^2-4*a*(1/a)≤0,所以a^2-4≤0,解得-2≤a≤2
综合上述，可得当且仅当0<a≤2时函数y=√（ax²-ax+1／a）的定义域为R

至于为什么要a>0,是要保证二次函数f(x)=ax²-ax+1／a的开口向上，才有可能使得f(x)=ax²-ax+1／a≥0恒成立；而△≤0则是保证二次函数与x轴最多只有一个交点或者无交点，如果二次函数与x轴有两个交点的话，肯定会有至少一个x=k使得f(x)=ax²-ax+1／a<0而不能保证f(x)=ax²-ax+1／a≥0对于定义域为R成立，那么y=√（ax²-ax+1／a）在取x=k无意义。这就是为什么要a>0且△≤0的原因了

Answer 2

解：显然a≠0;要使定义域为R，则ax²-ax+1／a>=0恒成立！
则令a>0,且△<=0;△=a^2-4<=0
解得：0<a<=2
则实数a的取值范围是：（0,2]。