Question

一道数列题目

设函数y=f（x）的定义域为R，其图像关于（0.5,0.5）中心对称，令ak=f（k/n）（n是常数，且n>=2，n为正整数）k=1,2,3，...（n-1）...，求数列{an}的前（n-1）项的和

Answer 1

∵函数y=f（x）的定义域为R，其图像关于（0.5,0.5）中心对称，
∴点（x，y）关于点（0.5,0.5）的对称点（1－x，1－y）也在函数图象上，
∴f(1－x)= 1－y=1－f(x)，即f(x)+ f(1－x)=1，
∵a(k)=f(k/n)，a(n-k)= f((n-k)/n）， [ (n-k)/n]=1－（k/n)，
∴a(k)+a(n-k)=f(k/n)+f((n-k)/n)= f(k/n)+f[1－（k/n)]=1.
数列{an}的前（n-1）项的和S=a1+a1+…+a(n-2)+a(n-1)
=a(n-1)+a(n-2)+ …+a2+a1，
∴2S=[a1+ a(n-1)]+ [a2+ a(n-2)]+…+[a(n-2)+ a2]+ [a(n-1)+ a1]=n-1
∴S=(n-1)/2.