Question

高一数学，含绝对值的不等式

已知a,b,c是实数，函数f(x)=ax^2+bx+c,g(x)=ax+b,当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1.
（1）证明c≤1；
（2）证明当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2.

Answer 1

(Ⅰ)证明：由条件当-1≤x≤1时,│f(x)│≤1,取x=0得|c│=│f(0)│≤1, 即│c│≤1.
(Ⅱ)当a>0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数,
∴g(-1)≤g(x)≤g(1),
∵│f(x)│≤1(-1≤x≤1),│c│≤1,
∴g(1)=a+b=f(1)-c≤│f(1)│+│c│≤2,
g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(│f(-1)│+│c│）≥－2,
由此得│g(x)│≤2;
同理 当a<0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是减函数,
∴g(-1)≥g(x)≥g(1),
∵│f(x)│≤1(-1≤x≤1),│c│≤1,
∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤│f(-1)│+│c│≤2,
g(1)=a+b=f(1)-c≥-(│f(1)│+│c│)≥-2,
由此得│g(x)│≤2;
当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c.
∵-1≤x≤1,
∴│g(x)│=│f(1)-c│≤│f(1)│+│c│≤2.
综上得│g(x)│≤2.

Answer 2

高中数学:含绝对值不等式的求解