Question

如图，已知点D是△ABC的边BC上一点（不与B、C重合），DE‖AC，DF‖AB，BC=5

（1）设△ABC的面积为S，若四边形AEDF的面积为2/5S，求BD的长
（2）若AC=√2 AB，且DF经过△ABC的重心G，求E、F两点间的距离

Answer 1

设BD=x，连接AD，则有
BD:DC=BE:EA=CF:FA=x:(5-x)
三角形BDE的面积:三角形ADE的面积=三角形CDF的面积:三角形ADF的面积=x:(5-x)
因此三角形ABD的面积:四边形AEDF的面积=(x+(5-x)):(5-x)
所以(x+(5-x)):(5-x)=5/2
x=3

(2)DF经过△ABC的重心G,因此： ED=1/3AC,FD=2/3 AB(证明略)

ED:DF=AC/3 : AB*(2/3)=1:√2=AB:AC
角BAC=角EDF，所以三角形ABC、 EFD相似
EF:BC=ED:AB=AC/3:AB=√2/3

EF=5√2/3

Answer 2

(1)△BED/△ABC=(BD/BC)^2
△CDF/△ABC=((BC-BD)/BC)^2
四边形AEDF/△ABC=1-△BED/△ABC-△CDF/△ABC
2/5=1-[1+2(BD/BC)^2-2(BD/BC)]
解得：BD/BC=3/2（负舍）
BD=3BC/2=7.5
(2)由DF经过△ABC的重心G可知，DC/BC=1/3，
【过C做中线CE，与DF交于G，则CF/CA=DC/BC=CG/CE=1/3。】
DF=2AB/3;DE=AC/3=√2AB/3;
然后用相似可得：EF=（2a/3）*5/(√2a)=5√2/3;.