Question

高中数学不等式问题

已知y=ax^2+bx+c(a,b,c∈R,且a≠0）与y=x和y=-x均无交点,求证①4ac-b^2>1②对x∈R,恒有丨ax^2+bx+c丨>1／（4丨a丨）

Answer 1

①证明：联立y=ax^2+bx+c(a,b,c∈R,且a≠0）
y=x
得ax^2+(b-1)x+c=0
由题意知无解
Δ=(b-1)^2-4ac＜0……………………………………Ⅰ

同理联立y=ax^2+bx+c(a,b,c∈R,且a≠0）
y=-x
得ax^2+(b+1)x+c=0
由题意知无解
Δ=(b+1)^2-4ac＜0………………………………Ⅱ
由ⅠⅡ知b^2+1-4ac＜2b＜4ac-1-b^2得4ac-b^2>1
②当a＞0时，二次函数有最小值，因为4ac-b^2>1得b^2-4ac＜-1＜0
所以二次函数图像在x轴上方
有丨ax^2+bx+c丨=ax^2+bx+c
≥(4ac-b^2)/(4a)＞1/(4a)＝1／（4丨a丨）
当a＜0时，二次函数有最大值，因为4ac-b^2>1得b^2-4ac＜-1＜0
所以二次函数图像在x轴下方
有丨ax^2+bx+c丨=-（ax^2+bx+c）
≥-(4ac-b^2)/(4a)＞-1/(4a)＝1／（4丨a丨）
即证对x∈R,恒有丨ax^2+bx+c丨>1／（4丨a丨）