Question

初中数学竞赛题

两个完全平方数的和有什么特点？
1000003能否写成两个完全平方数的和，为什么

Answer 1

性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
由于末位数只能是0 1 4.5 6 9
1000003末位是3 可能情况只能是4+9
末位为9的 根据性质2 十位数必须为偶数
而4+9 =13 十位数进1 则另一个平方数的十位数是奇数
得到另一平方数的十位数是奇数 个位数是4 与性质3矛盾 所以不可能
性质123证明见参考资料

Answer 2

什么样的整数能够表示成两个完全平方数的和?
(2m)²+(2n)²=4(m²+n²)
(2m)²+(2n-1)²=4(m²+n²-n)+1
(2m-1)²+(2n-1)²=4(m²+n²-m-n)+2
∴4k+3型整数不能表示成两个整数的平方和

1000003是4k+3的数，所以不能