Question

数列,求详解，越详细越好！

设f(x)的图像既关于直线X=0对称，有关于直线x=1对称，且对任意x1,x2∈[0,1/2],都有f（x1+x2）=f(x1)f(x2);且f（1）=a(a>0),an=f(2^n+1/2^n) (n∈N*)，则它的通项公式为____.

Answer 1

由以知关于x=0对称所以f（x）=f（-x)又有关于x=1对称所以f（-x）=f（2+x）所以f（x）=f（2+x）所以f(x)周期为2所以an=f（2ˆn+1/2ˆn）=f(1/2ˆn)=f[1/2ˆ（n+1）+1/2ˆ（n+1)]=an+1*an+1 两边取对数得In（an+1）=1/2In（an)所以In（an）=In（a1）*（1/2）ˆ（n-1）又有f（1）=f（1/2）*f（1/2）=a又有由上知an非负所以a1=√a 所以an=（√a）ˆ[1/2ˆ（n-1）] mio！