设O点为坐标原点,曲线x^2+y^2+2x-6y+1=0上有两点P,Q满足关于直线x+my+4=0对,向量op*oq=0,求PQ方程
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曲线x^2+y^2+2x-6y+1=0 =》 (x+1)^2+(y-3)^2=9
曲线是圆,圆心为(-1,3),半径为3
向量op*oq=0,则说明OP⊥OQ,则∠POQ=90
又知P、Q是圆的点,则PQ必过圆心(-1,3)
两点P,Q满足关于直线x+my+4=0对称,则直线x+my+4=0必过圆心,
所以-1+3m+4=0,得m=-1,所以对称直线是x-y+4=0
所以PQ必垂直对称直线,所以PQ的斜率是-1
则PQ方程:y=-(x+1)+3,即x+y-2=0
曲线是圆,圆心为(-1,3),半径为3
向量op*oq=0,则说明OP⊥OQ,则∠POQ=90
又知P、Q是圆的点,则PQ必过圆心(-1,3)
两点P,Q满足关于直线x+my+4=0对称,则直线x+my+4=0必过圆心,
所以-1+3m+4=0,得m=-1,所以对称直线是x-y+4=0
所以PQ必垂直对称直线,所以PQ的斜率是-1
则PQ方程:y=-(x+1)+3,即x+y-2=0
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:(1)曲线方程为(x+1)2 +(y-3)2 = 9表示圆心为(-1,3),半径为3的圆. … …
∵点P、Q在圆上且关于直线x + my + 4 = 0对称,
∴圆心(-1,3)在直线上. 代入得 m = -1. … …
(2)∵直线PQ与直线 y = x+4垂直,
∴设P(x1,y1)、Q(x2,y2),PQ方程为y = -x+b. … …
将直线y = -x+b代入圆方程,得2x2 +2(4-b)x + b2-6 b + 1 = 0. … …
Δ = 4(4-b)2-4×2×(b2-6b+1)>0,得2-3 <b<2+3 . … …
由韦达定理得x1+x2 = -(4-b),x1·x2= . … …
∴ y1·y2=b2-b(x1+x2)+x1·x2= +4b. … …
∵ · =0, ∴x1x2+y1y2=0,
即b2-6b+1+4b=0. … …
解得b =1 ∈(2-3 ,2+3 ). … …
∴ 所求的直线方程为y = -x+1
∵点P、Q在圆上且关于直线x + my + 4 = 0对称,
∴圆心(-1,3)在直线上. 代入得 m = -1. … …
(2)∵直线PQ与直线 y = x+4垂直,
∴设P(x1,y1)、Q(x2,y2),PQ方程为y = -x+b. … …
将直线y = -x+b代入圆方程,得2x2 +2(4-b)x + b2-6 b + 1 = 0. … …
Δ = 4(4-b)2-4×2×(b2-6b+1)>0,得2-3 <b<2+3 . … …
由韦达定理得x1+x2 = -(4-b),x1·x2= . … …
∴ y1·y2=b2-b(x1+x2)+x1·x2= +4b. … …
∵ · =0, ∴x1x2+y1y2=0,
即b2-6b+1+4b=0. … …
解得b =1 ∈(2-3 ,2+3 ). … …
∴ 所求的直线方程为y = -x+1
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