Question

平行四边形ABCD中,AB垂直AC,AB=1,BC=根号5,对角线AC,BD交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC,AD于点

平行四边形ABCD中,AB垂直AC,AB=1,BC=根号5,对角线AC,BD交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC,AD于点E,F（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；（2）是说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，说明理由；能，说明理由并求出AC绕点O顺时针旋转的度数。

Answer 1

1 旋转90度 EF垂直于AC AB垂直于AC AB//EF 且由题意AE//BF 所以四边形ABEF为平行四边行

2. 旋转过程中设E F 为任意点,
由题意AF//CE
内错角EFA=FEC CAF=ACE AO=CO
可证明三角形AOF全等于 三角形COE
由此证明 OF=OE AF=EC

3 由勾股定理AC的平方=BC的平方-AB的平方
5-1=4
AC=2
AO=1/2 AC=1
AB=AO
又因为角BAC=90度 角BOA=45度
要使的四边形BEDF为菱形
有BO=OD OF=OE(已证)
只需要EF垂直于BD
即角FOB=90度
所以角FOA=角FOB-角BOA=90-45=45度
所以AC应顺时针旋转45度

Answer 2

（1）当∠AOF=90°时，AB∥EF，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形

（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=CO，∠FAO=∠ECO，∠AOF=∠COE．
∴△AOF≌△COE．
∴AF=EC．

（3）四边形BEDF可以是菱形
理由：连接BF，DE
由（2）知△AOF≌△COE，得OE=OF，
∴EF与BD互相平分．
∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形
在Rt△ABC中，AC= =2，
∴OA=1=AB，又AB⊥AC，
∴∠AOB=45°
∴∠AOF=45°，
∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．