Question

几道高中数学的不等式，麻烦各位帮忙解一下，谢谢了

1. a,b为正数，满足a^3-b^3=a^2-b^2，a+b的取值范围是？
2. 设a,b,c属于R+，且a+b=c,求证a^(2/3)+b(2/3)＞c^(2/3)
3. 已知实数a,b,c满足a＞b＞c，且有a+b+c=1,a^2+b^2+c^2=1,求证1＜a+b＜4/3
4. 已知-1＜a,b,c＜1，比较ab+bc+ca与-1的大小关系
5. 若x,y,z是正数，且满足xyz(x+y+z)=1,则（x+y）（y+z）的最小值为？
6. 已知x,y,z,属于R+，且x+y+z=8,x^2+y^2+z^2=24,求证4/3≤x≤3,4/3≤y≤3,4/3≤z≤3

不一定全都要写出来，知道做几个 麻烦就告诉我几个，点一下方法思路什么的 谢谢了
万分感谢
第六题是证4/3≤x≤3,4/3≤y≤3,4/3≤z≤3， 我也纳闷了

还有 ，第二题没看很懂诶 ，可以麻烦再补充一下不？

Answer 1

1. (0, 正无穷大），因为a=b时等式就成立了，a，b可为任意正数。
2. 等价于已知x^3+y^3=z^3,求证x^2+y^2>z^2（1）,x,y为正数。将（1）式两边3次方展开化简就可以了。
3. 如果c为正数或者0，由于a+b+c=1，故0<a,b<1，故a,b,c<其平方，故a^2+b^2+c^2=1是不可能成立的。故c为负，a+b=1-c>1
c=1-a-b,代人a^2+b^2+c^2=1，变形为（a+b）^2-2ab+[1-(a+b)]^2=1,因为2ab<(a+b)^2/2,故（a+b）^2-(a+b)^2/2+[1-(a+b)]^2<1,可解得a+b＜4/3
4. 不妨设-1<a<=b<=c<1,
(1)a，b，c同号或者abc=0时，ab+bc+ca>-1显然成立
（2）a,b,c异号时且abc不为0时， 则c>0,a<0
(i)如果b>0,1+ab+ac+bc>bc+1-b-c=(b-1)(c-1)>0,ab+bc+ca>-1
(ii)如果b<0,ab+bc+ca+1>1+ab+a+b=(1+a)(1+b)>0,ab+bc+ca>-1
故ab+bc+ca>-1
5. （x+y）(y+z)=y(x+y+z)+xz>=2[xyz(x+y+z)]^(1/2)>=2(……时=成立)

Answer 2

凑个热闹。（一）第1题应加条件：a,b＞0,且a≠b.否则该题无意义。两边分解，消去a-b得：a²+ab+b²=a+b.不妨设a＞b＞0.换元,令a=x+y,b=x-y,(x＞y＞0).则有a+b=2x,且3x²+y²=2x.===>x²＞y²＝2x-3x²,===>4x²＞2x.===>2x＞1,即a+b＞1.又a²+ab+b²=a+b.==>(a+b)²-(a+b)=ab＜(a+b)²/4.===>(a+b)[(a+b)-(4/3)]＜0.===>a+b＜4/3.∴1＜a+b＜4/3.(二）分析倒推。a^(2/3)+b^(2/3)＞c^(2/3).两边立方，将c换为a+b.得3[a^(2/3)+b^(2/3)]＞2(ab)^(1/3).又a^(2/3)+b^(2/3)≥2(ab)^(1/3).倒推即得原不等式。（三）由题设条件可得：a+b=1-c,ab=c²-c,由韦达定理知，a,b是关于x的方程x²-(1-c)x+(c²-c)=0的两不等的正根，∴⊿=（1-c)²-4(c²-c)＞0.且1-c＞0,c²-c＞0.===>-1/3＜c＜0.
===>-1/3＜1-(a+b)＜0.==>1＜a+b＜4/3.(四）a,b,c同号或abc=0时，成立。楼上在讨论时，有一点b＞0时，-1＜a＜0＜b≤c＜1.==>(1+a)(b+c)＞0.===>ab+ac＞-b-c==>1+bc+ac+ab＞1+bc-b-c＝(b-1)(c-1)＞0.==>ab+bc+ca＞-1.(五）看楼上的。（六）由x+y+z=8,x²+y²+z²=24,===>x+y=8-z,xy=z²-8z+20.故由韦达定理知，x,y是关于x的方程x²-(8-z)x+(z²-8z+20)=0的两根。∴⊿＝(8-z)²-4(z²-8z+20)≥0.===>3z²-16z+16≤0,==>[z-(4/3)](z-4)≤0.===>4/3≤z≤4.同理可证其它两结论。【请再看看答案，是4/3≤xxx≤4???]