如图(1),BD、CE分别是△ABC的外角平分线,过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别为F、G,连结FG,延长AF、AG
如图(1),BD、CE分别是△ABC的外角平分线,过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别为F、G,连结FG,延长AF、AG,与直线BC相交。(1)求证:FG=(AB+B...
如图(1),BD、CE分别是△ABC的外角平分线,过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别为F、G,连结FG,延长AF、AG,与直线BC相交。
(1)求证:FG= (AB+BC+AC)
(2)若BD、CE分别是△ABC的内角平分线,如图(2);BD为△ABC的内角平分线,CE为△ABC的外角平分线,如图(3),则在图(2)、图(3)两种情况下,线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并对其中的一种情况说明理由。 展开
(1)求证:FG= (AB+BC+AC)
(2)若BD、CE分别是△ABC的内角平分线,如图(2);BD为△ABC的内角平分线,CE为△ABC的外角平分线,如图(3),则在图(2)、图(3)两种情况下,线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并对其中的一种情况说明理由。 展开
2010-09-12
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延长AF,AG与直线BC相交于M、N,
1.三角形ABM中,BF垂直AM,BF平分角ABM,
三角形ABM等到腰,AB=BM,F是AB中点,
同理,在三角形ACN中AC=CN,G是AN中点,
GF是三角形ANM中位线,
GF=1/2(MN)
=1/2(BM+BC+CN)
=1/2(AB+BC+CA)
2.
FG=1/2(AC+AB-BC)。
当AB边最长,
在三角形ACN中,AC=CN,G是AN中点,
在三角形ABM中,AB=BM,F是AM中点,
MN=CN+CM=AC+(BM-BC)=AC+AB-BC,
当BC>AB>AC时,
MN=BM-BN=AB-BN=AB-(BC-AC)=AB+BC-AC,
FG=1/2MN=1/2(AC+AB-BC)。
3.
AB=BM,F是AM中点,
AC=CN,G是AN中点,
FG=1/2MN=1/2(AC+BC-AB)。
1.三角形ABM中,BF垂直AM,BF平分角ABM,
三角形ABM等到腰,AB=BM,F是AB中点,
同理,在三角形ACN中AC=CN,G是AN中点,
GF是三角形ANM中位线,
GF=1/2(MN)
=1/2(BM+BC+CN)
=1/2(AB+BC+CA)
2.
FG=1/2(AC+AB-BC)。
当AB边最长,
在三角形ACN中,AC=CN,G是AN中点,
在三角形ABM中,AB=BM,F是AM中点,
MN=CN+CM=AC+(BM-BC)=AC+AB-BC,
当BC>AB>AC时,
MN=BM-BN=AB-BN=AB-(BC-AC)=AB+BC-AC,
FG=1/2MN=1/2(AC+AB-BC)。
3.
AB=BM,F是AM中点,
AC=CN,G是AN中点,
FG=1/2MN=1/2(AC+BC-AB)。
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思路:(1)都是内角平分线时,可根据等腰三角形三线合一的特点来求解,由于DB平分∠ABC,且AF⊥BD,如果延长AF交BC于K,那么三角形ABK就是个等腰三角形,AF=FK,如果延长AG到H,那么同理可证AG=GH,AC=CH,那么GF就是三角形AHK的中位线,GF就是HK的一半,而HK=BK-BH=BK-(BC-CH),由于BK=AB,CH=AC,那么可得出FG=12(AB+AC-BC);
(2)证法同(1)先根据题目给出的求法,得出GD是AC的一半,然后按(2)的方法,通过延长AF来得出DF是(BC-AB)的一半,由此可得出FG=12(BC+AC-AB).
解答:解:(1)猜想结果:如图结论为FG=12(AB+AC-BC)
证明:分别延长AG、AF交BC于H、K,
在△BAF和△BKF中,
∵∠ABD=∠FBKBF=BF∠BFA=∠BFK,
∴△BAF≌△BKF(ASA),
∴AF=KF,AB=KB
同理可证,AG=HG,AC=HC
∴FG=12HK
又∵HK=BK-BH=AB+AC-BC
∴FG=12(AB+AC-BC)
(2)图3的结论为FG=12(BC+AC-AB).
证明:分别延长AG、AF交BC或延长线于H、K
在△BAF和△BKF中,
∵∠ABD=∠DBKBF=BF∠BFA=∠BFK,
∴△BAF≌△BKF(ASA),
∴AF=KF,AB=KB
同理可证,AG=HG,AC=HC,
∴FG=12KH
又∵KH=BC-BK+HC=BC+AC-AB.
∴FG=12(BC+AC-AB).
(2)证法同(1)先根据题目给出的求法,得出GD是AC的一半,然后按(2)的方法,通过延长AF来得出DF是(BC-AB)的一半,由此可得出FG=12(BC+AC-AB).
解答:解:(1)猜想结果:如图结论为FG=12(AB+AC-BC)
证明:分别延长AG、AF交BC于H、K,
在△BAF和△BKF中,
∵∠ABD=∠FBKBF=BF∠BFA=∠BFK,
∴△BAF≌△BKF(ASA),
∴AF=KF,AB=KB
同理可证,AG=HG,AC=HC
∴FG=12HK
又∵HK=BK-BH=AB+AC-BC
∴FG=12(AB+AC-BC)
(2)图3的结论为FG=12(BC+AC-AB).
证明:分别延长AG、AF交BC或延长线于H、K
在△BAF和△BKF中,
∵∠ABD=∠DBKBF=BF∠BFA=∠BFK,
∴△BAF≌△BKF(ASA),
∴AF=KF,AB=KB
同理可证,AG=HG,AC=HC,
∴FG=12KH
又∵KH=BC-BK+HC=BC+AC-AB.
∴FG=12(BC+AC-AB).
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解:(1)猜想结果:如图结论为FG=1 2 (AB+AC-BC)
证明:分别延长AG、AF交BC于H、K
易证△BAF≌△BKF
∴AF=KF,AB=KB
同理可证,AG=HG,AC=HC
∴FG=1 2 HK
又∵HK=BK-BH=AB+AC-BC
∴FG=1 2 (AB+AC-BC)
(2)图3的结论为FG=1 2 (BC+AC-AB).
证明:分别延长AG、AF交BC或延长线于H、K
易证△BAF≌△BKF,
∴AF=KF AB=KB
同理可证,AG=HG,AC=HC,
∴FG=1 2 KH
又∵KH=BC-BK+HC=BC+AC-AB.
∴FG=1 2 (BC+AC-AB).
证明:分别延长AG、AF交BC于H、K
易证△BAF≌△BKF
∴AF=KF,AB=KB
同理可证,AG=HG,AC=HC
∴FG=1 2 HK
又∵HK=BK-BH=AB+AC-BC
∴FG=1 2 (AB+AC-BC)
(2)图3的结论为FG=1 2 (BC+AC-AB).
证明:分别延长AG、AF交BC或延长线于H、K
易证△BAF≌△BKF,
∴AF=KF AB=KB
同理可证,AG=HG,AC=HC,
∴FG=1 2 KH
又∵KH=BC-BK+HC=BC+AC-AB.
∴FG=1 2 (BC+AC-AB).
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