Question

高中数学数列题

设正项等比数列AN的首相A1=1/2，前N项和为SN，且2^10*S30-（2^10+1）S20+S10=0
1、an 的通项 （已求出）
2、求N*SN的前N项和TN (简要说明一下过程方法)

Answer 1

1.
2^10×S30-2^10×S20=S20-S10
(S30-S20)/(S20-S10)=1/2^10
(A21+A22+……+A30)/(A11+A12+……+A20)=1/2^10
q^10=1/2^10
An>0 q>0
q=1/2
An=1/2^n

2.
Sn=1/2×(1-1/2^n)/(1-1/2)=1-1/2^n
Tn=S1+2S2+3S3+……+nSn
=(1-1/2^1)+(2-2/2^2)+(3-3/2^3)+……+(n-n/2^n)
=(1+2+3+……+n)-(1/2^1+2/2^2+3/2^3+……+n/2^n)
Tn分为两部分，前半部分Tn1为等差数列，后半部分Tn2为等差数列与等比数列相除
Tn1=n(n+1)/2
Tn2=1/2^1+2/2^2+3/2^3+……+n/2^n
2Tn2=1+2/2^1+3/2^2+……+n/2^(n-1)
两式错位相减
2Tn2-Tn2=1+[(2/2-1/2)+(3/4-2/4)+……+n/2^(n-1)-(n-1)/2^(n-1)]-n/2^n
=1+(1/2+1/4+……+1/2^(n-1)-n/2^n
=1×(1-1/2^n)/(1-1/2)-n/2^n
=2-(n+2)/2^n
Tn=Tn1-Tn2=n(n+1)/2-2+(n+2)/2^n