已知,MN是线段AB垂直平分线,C,D是MN上的两点,求证:(1)△ABC,△ABD是等腰三角形;(2)角CAD=角CBD
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解析:
当M,N点位于AB同侧时,
∵MN是线段AB垂直平分线,C,D是MN上的两点,
∴DA=DB,CA=CB,
∴△ABC,△ABD是等腰三角形,
则∠DAB=∠DBA,∠CAB=∠CBA,
∴∠CAB-∠DAB=∠CBA-∠DBA,
即∠CAD=∠CBD,
当M,N点位于AB两侧时,
∵MN是线段AB垂直平分线,C,D是MN上的两点,
∴DA=DB,CA=CB,
∴△ABC,△ABD是等腰三角形,
则∠DAB=∠DBA,∠CAB=∠CBA,
∴∠CAB+∠DAB=∠CBA+∠DBA,
即∠CAD=∠CBD,
当M,N点位于AB同侧时,
∵MN是线段AB垂直平分线,C,D是MN上的两点,
∴DA=DB,CA=CB,
∴△ABC,△ABD是等腰三角形,
则∠DAB=∠DBA,∠CAB=∠CBA,
∴∠CAB-∠DAB=∠CBA-∠DBA,
即∠CAD=∠CBD,
当M,N点位于AB两侧时,
∵MN是线段AB垂直平分线,C,D是MN上的两点,
∴DA=DB,CA=CB,
∴△ABC,△ABD是等腰三角形,
则∠DAB=∠DBA,∠CAB=∠CBA,
∴∠CAB+∠DAB=∠CBA+∠DBA,
即∠CAD=∠CBD,
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证明:
假设C,D点位于AB线段同侧,
∵MN是线段AB的垂直平分线,C,D是MN上的两点,
∴DA=DB,CA=CB,
∴△ABC,△ABD是等腰三角形,
则∠DAB=∠DBA,∠CAB=∠CBA,
∴∠CAB-∠DAB=∠CBA-∠DBA,
即∠CAD=∠CBD,
假设C,D点位于AB线段两侧,
∵MN是线段AB垂直平分线,C,D是MN上的两点,
∴DA=DB,CA=CB,
∴△ABC,△ABD是等腰三角形,
则∠DAB=∠DBA,∠CAB=∠CBA,
∴∠CAB+∠DAB=∠CBA+∠DBA,
即∠CAD=∠CBD,
假设C,D中任一点位于AB线段上,设为C则一点D必然在AB线段外,
∵MN是线段AB垂直平分线,C,D是MN上的两点,
∴DA=DB,CA=CB,
∴△ABD是等腰三角形,A、B、C在一条线段上,△ABC不成立;
则∠DAB=∠DBA,∠CAB=∠CBA=180º,
即∠CAD=∠CBD,
假设C,D点位于AB线段同侧,
∵MN是线段AB的垂直平分线,C,D是MN上的两点,
∴DA=DB,CA=CB,
∴△ABC,△ABD是等腰三角形,
则∠DAB=∠DBA,∠CAB=∠CBA,
∴∠CAB-∠DAB=∠CBA-∠DBA,
即∠CAD=∠CBD,
假设C,D点位于AB线段两侧,
∵MN是线段AB垂直平分线,C,D是MN上的两点,
∴DA=DB,CA=CB,
∴△ABC,△ABD是等腰三角形,
则∠DAB=∠DBA,∠CAB=∠CBA,
∴∠CAB+∠DAB=∠CBA+∠DBA,
即∠CAD=∠CBD,
假设C,D中任一点位于AB线段上,设为C则一点D必然在AB线段外,
∵MN是线段AB垂直平分线,C,D是MN上的两点,
∴DA=DB,CA=CB,
∴△ABD是等腰三角形,A、B、C在一条线段上,△ABC不成立;
则∠DAB=∠DBA,∠CAB=∠CBA=180º,
即∠CAD=∠CBD,
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设 MN与AB相交点为O,
∵ MN是AB的垂直平分线,
∴ ∠COA=∠COB=90°
OA=OB
又∵CO为公共边
∴ △COA≌△COB
∴ ∠CAO=∠CBO,CA=CB
同理可证△DOA≌△DOB,∠DAO=∠DBO,DA=DB
∴ 证得1)△ABC、△ABD是等腰三角形
2)∠CAD=∠CAO+∠DAO=∠CBO+∠DBO=∠CBD
【PS:先不说这么简单的题,连“∠”符号都打不出来,亏你还知道上网问!】
∵ MN是AB的垂直平分线,
∴ ∠COA=∠COB=90°
OA=OB
又∵CO为公共边
∴ △COA≌△COB
∴ ∠CAO=∠CBO,CA=CB
同理可证△DOA≌△DOB,∠DAO=∠DBO,DA=DB
∴ 证得1)△ABC、△ABD是等腰三角形
2)∠CAD=∠CAO+∠DAO=∠CBO+∠DBO=∠CBD
【PS:先不说这么简单的题,连“∠”符号都打不出来,亏你还知道上网问!】
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