Question

数列极限存在证明题。

数列首项a1=1/2 满足递推a（n+1）=根号下a（n）
，证明此数列有极限。

参考定理： 1单调有界准则 2柯西收敛准则 、
请问除了上面两个之外，还有什么定理可以证明数列极限的存在性？
1楼，我现在问的问题就是你所说的，我问的就是 a(n)<1 这个怎么证明啊？
2 楼，通项公式我会用，像这样带有根式的递推式，有很多是求不出通项的，如果求不能通项就不能用这样的方法。能否给一个像我说的使用那种定理的证明过程。因为不是每个递推式，你都能解出差分方程求出通项的！！！！！！！

3 数学归纳法我会的。但是这并不是一个通用的方法，很多同类型的题目，是无法用这种方法的！我希望用高等数学原始定理的方法。

4 后面4楼，抓住数学的本质，就是要抓到四海统一的“最初原理”方法。数学的每一题，都存在它的正归性证明方法。（如高中：偶函数在x正半轴是增，证明在x负半轴是减。很多人以为只能用画图像法，这就是没有抓到本质，所有单调性题目的本质就一个：f(x1)>f(x2)，有理有据步步为营正式官方地推理出来才是抓到本质，否则你只学会这么一首题，没学到本质。你的话自相矛盾）
你的反证法非常好，可以和数学归纳法一起成为非本质性的解题方法。我喜欢你的证法。但我不喜欢你的华丽的包装语言，类似纸上谈兵或自相矛盾的说教！

6 6楼的，本题从递推式似乎无法判断邻项的比值大小

Answer 1

就一破题至于这样吗？！

假设an>=1,由递推公式a(n-1)=an^2>=1得到a1>=1矛盾，所以an<1
an>0是显然的，所以an^2<an
即得an<根号下an=a(n+1)
于是推出数列是有上界（不可达到）的严格单调增加函数，所以极限存在。
证毕。

方法讲究的是灵活运用，有界数集有确界、单调有界极限存在、区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有限覆盖定理都是可以互相推到的；如果跟定义相似也可直接用定义。
看实际题目的条件跟那个定理比较接近基本就可以用哪个定理解了。

Answer 2

如图

Answer 3

不知道楼主喜欢什么方法，证明a（n）<a（n+1）<1的方法很多
例用数学归纳法:
a1=1/2，a2=2分之根号2
a1<a2成立
假设a（k-1）<a(k)成立
当n=k时
a（k+1）=根号下a（k）
a（k）=根号下a（k-1）
可得a（k+1）>a（k）
现在已知数列单调增加
a（n+1）^2=a(n)
则a（n）>a(n)^2
a(n)<1
希望对你有所帮助

Answer 4

a（n+1）= [a（n）]^(1/2)= [a（n-1）]^(1/4)=...= [a1]^(1/2n)
an=(1/2)^(1/2(n-1))

lim(n->∞) (1/2)^(1/2(n-1))
=(1/2)^0
=1

当然还有n多定理，此处用连续函数的定义即可。

Answer 5

不知道楼主喜欢什么方法，证明a（n）
a（k）
现在已知数列单调增加
a（n+1）^2=a(n)
则a（n）>a(n)^2
a(n)<1
希望对你有所帮助