Question

数列极限存在证明题目。两道题。。

Answer 1

4
因为ln(1-1/n)< -1/n
所以xn-x(n-1)=1/n+ln(n-1)-lnn=1/n+ln(1-1/n)<0
所以xn<x(n-1)
所以xn是递减数列。

因为ln(1+x)<x
所以ln(n+1)-lnn=ln(1+1/n)<1/n
那么

ln(n+1)-lnn<1/n
lnn-ln(n-1)<1/(n-1)
...............
ln2-ln1<1

上面n个式子叠加得到
1+1/2+1/3+......+1/n>ln(n+1)
所以1+1/2+1/3+......+1/n-lnn>ln(n+1)-lnn>0

因为xn递减且有下限，所以极限存在

5
设An(x)=sin[sin(......(sinx)] (n个)
A(n-1)(x)=sin[sin(......(sinx)] (n-1个)
那么|A1(x)|=sinx<=1
|An(x)|=|sinA(n-1)(x)|<=|A(n-1)(x)|
所以|An(x)|是个单调递减的函数列，且0<=|An(x)|<=1
所以|An(x)|存在极限。

设f(x)=lim |An(x)|
因为|An(x)|=|sinA(n-1)(x)|=sin|A(n-1)(x)|
两边取极限得到f(x)=sinf(x)
所以f(x)=0

所以，原极限=0