Question

一道高中数学函数题

已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)+f(x+2)=2x^2-4x+2,f(x+1)-f(x-1)=4(x-2).
(1)求f(x)的解析式
(2)若f(t-1),-1/2,f(x)成等差数列，求t的取值集合

Answer 1

解：（1）由f(x+1)-f(x-1)=4(x-2) 可得f（x+2）-f（x）=4（x-1）
再联立f(x)+f(x+2)=2x^2-4x+2 可得f（x）=x^2-4x+3
（2）f(t-1)=(t-1)^2-4(t-1)+3 由f(t-1),-1/2,f(x)成等差数列
故[f(t-1)+f(x)]/2=-1/2
化简得（t-3）^2=1-(x-2)^2≤1
故2≤t≤4

Answer 2

（1）此题又叫解函数方程，具体方法为：
因为f(x+1)-f(x-1)=4(x-2)

则f(x+2)-f(x)=4(x-1) (具体操作为令x=x+1，两个x不同）
又f(x)+f(x+2)= 2x^2-4x+2
两式相减得f(x)=x^2-4x+3

(2)成等差数列则有
-1=f(t-1)+f(x)
所以f（t-1)=-1-f(x)=-(x-2)^2
即f(t-1)<=0
解得1<=t-1<=3
所以2<=t<=4
即t的集合为[2,4]

Answer 3

解：（1）
因为：f(x+1)-f(x-1)=4(x-2).
x=t+1==>f(t+1+1)-f(t+1-1)=4(t+1-2).
f(t+2)-f(t)=4(t-1).
==> f(x+2)-f(x)=4(x-1).
与
f(x)+f(x+2)=2x^2-4x+2 联立解方程：
得：f(x)=x^2-4x+3 ；
（2）
2)因为f（t-1），－0.5，f(t)成等差数列
所以f(t-1)+f(t)=2*(-0.5)=-1
上面求得：f(x)=x^2-4x+3 ；
∴ f(t-1)+f(t)=[（t-1）^2-4(t-1)+3]+[t^2-4t+3 ]=-1
===>t^2-2t+1-4t+4+3+t^2-4t+3=-1
===>t^2-5t+6=0
===>(t-2)(t-3)=0
t=2或t=3

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