Question

一道关于函数的题，求函数解析式

定义在正整数集上的f(x)对任意的m，n属于正整数，有f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）-2，并且f（1）=1
【1】求函数f（x）解析式
【2】若m^2-tm-1小于等于f（x）对任意的m属于【-1,1】，x属于正整数恒成立，求实数t的取值

Answer 1

1. 令m=X，n=1 f(X+1)=f(X)+f(1)+4(X+1)-2
∴f(X+1)=f(X)+4X+3
f(X+1)-f(X)=4X+3
当X-1＞0时，有
f(X)-f(X-1)=4(X-1)+3
f(X-1)-f(X-2)=4(X-2)+3
....
f(2)-f(1)=4*(1)+3
以上各式相加，共X-1项，得
f(X)-f(1)=4*(1+2+3+...+(X-2)+(X-1))+3(X-1)
=2X(X-1)+3(X-1)=2x²+x-3
∴f(x)=2x²+x-3+f(1)=2x²+x-2

2.因为X＞0，所以f（X）＞-2恒成立
要m^2-tm-1≤f（X）对任意的m属于【-1,1】，x属于正整数恒成立
即要m^2-tm-12
即m^2-tm+1≤0
令f(m)=m^2-tm+1,
要f(m)≤0,要满足一下各式
f(-1）≤0，f（1）≤0，△＞0，对称轴X=t/2， -1＜t/2＜1
解以上不等式就可以求出t的取值了，，我就不做了，你自己算吧

Answer 2

f(1)=1
f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+4(1+1)-2=8
f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)+4(1+2)-2=19
f(4)=f(1+3)=f(1)+f(3)+4(1+3)-2=34
f(4)=f(2+2)=2f(2)+4(2+2)-2=30
f(4)不等于f(4)!
可见题目有问题。

Answer 3

f(1)=1
f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+4(1+1)-2=8
f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)+4(1+2)-2=19
f(4)=f(1+3)=f(1)+f(3)+4(1+3)-2=34
f(4)=f(2+2)=2f(2)+4(2+2)-2=30
f(4)不等于f(4)!
所以题有问题