f(x)=ax的平方+bx+c 对一切实数x属于[-1,1] 都有|f(x)|<=1 1.求证|a+c|<=1
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解析:
1)∵f(x)=ax的平方+bx+c 对一切实数x属于[-1,1] 都有|f(x)|<=1
∴│f(1)│=│a+b+c│≤1,
│f(-1)│=│a-b+c│≤1,
│2a+2c│=│(a+b+c)+(a-b+c)│
≤│a+b+c│+│a-b+c│≤2
∴|a+c|≤1
2)、 由已知-1≤f(-1)≤1,-1≤f(1)≤1,-1≤f(0)≤1
而对于函数g(x)=2ax+b
当a>0时,函数g(x)是增函数,有g(-1)≤g(x)≤g(1)
又g(1)=2a+b=1/2[3(a+b+c)+(a-b+c)-4c]=1/2[3f(1)+f(-1)-4f(0)]≤1/2[3×1+1-4×(-1)]=4
g(-1)=-2a+b=-1/2[(a+b+c)+3(a-b+c)-4c]=-1/2[f(1)+3f(-1)-4f(0)]≥-1/2[1+3×1-4×(-1)]=-4
∴-4≤g(x)≤4
从而|g(x)|≤4,即|2ax+b|≤4
当a<0时,类似可得|2ax+b|≤4
当a=0时,|2ax+b|=|b|=1/2|(a+b+c)-(a-b+c)|≤1/2|a+b+c|+1/2|a-b+c|≤1/2|f(1)|+1/2|f(-1)|≤1
综上所述,对于一切x∈[-1,1],都有|2ax+b|≤4
1)∵f(x)=ax的平方+bx+c 对一切实数x属于[-1,1] 都有|f(x)|<=1
∴│f(1)│=│a+b+c│≤1,
│f(-1)│=│a-b+c│≤1,
│2a+2c│=│(a+b+c)+(a-b+c)│
≤│a+b+c│+│a-b+c│≤2
∴|a+c|≤1
2)、 由已知-1≤f(-1)≤1,-1≤f(1)≤1,-1≤f(0)≤1
而对于函数g(x)=2ax+b
当a>0时,函数g(x)是增函数,有g(-1)≤g(x)≤g(1)
又g(1)=2a+b=1/2[3(a+b+c)+(a-b+c)-4c]=1/2[3f(1)+f(-1)-4f(0)]≤1/2[3×1+1-4×(-1)]=4
g(-1)=-2a+b=-1/2[(a+b+c)+3(a-b+c)-4c]=-1/2[f(1)+3f(-1)-4f(0)]≥-1/2[1+3×1-4×(-1)]=-4
∴-4≤g(x)≤4
从而|g(x)|≤4,即|2ax+b|≤4
当a<0时,类似可得|2ax+b|≤4
当a=0时,|2ax+b|=|b|=1/2|(a+b+c)-(a-b+c)|≤1/2|a+b+c|+1/2|a-b+c|≤1/2|f(1)|+1/2|f(-1)|≤1
综上所述,对于一切x∈[-1,1],都有|2ax+b|≤4
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