Question

f(x)=ax的平方+bx+c 对一切实数x属于[-1,1] 都有|f(x)|<=1 1.求证

Answer 1

解析：

1)∵f(x)=ax的平方+bx+c
对一切实数x属于[-1,1]
都有|f(x)|<=1

∴│f(1)│=│a+b+c│≤1,

│f(-1)│=│a-b+c│≤1,

│2a+2c│=│(a+b+c)+(a-b+c)│

≤│a+b+c│+│a-b+c│≤2

∴|a+c|≤1

2)、
由已知－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤1，－1≤f(0)≤1

而对于函数g(x)＝2ax＋b

当a＞0时，函数g(x)是增函数，有g(－1)≤g(x)≤g(1)

又g(1)＝2a＋b＝1/2[3(a＋b＋c)＋(a－b＋c)－4c]＝1/2[3f(1)＋f(－1)－4f(0)]≤1/2[3×1＋1－4×(－1)]＝4

g(－1)＝－2a＋b＝－1/2[(a＋b＋c)＋3(a－b＋c)－4c]＝－1/2[f(1)＋3f(－1)－4f(0)]≥－1/2[1＋3×1－4×(－1)]＝－4

∴－4≤g(x)≤4

从而|g(x)|≤4，即|2ax＋b|≤4

当a＜0时，类似可得|2ax＋b|≤4

当a＝0时，|2ax＋b|＝|b|＝1/2|(a＋b＋c)－(a－b＋c)|≤1/2|a＋b＋c|＋1/2|a－b＋c|≤1/2|f(1)|＋1/2|f(－1)|≤1

综上所述，对于一切x∈[－1，1]，都有|2ax＋b|≤4