Question

对于函数f(x)=ax^2+bx+(b-1) (a不等于0）（1）当a=1,b=-2时，求函数f(x)的零点，已求为3和-1

(2) 若对任意实数b ,函数f(x)恒有两个相异的零点，求实数a的取值范围。

Answer 1

若对任意实数b ,函数f(x)恒有两个相异的零点
所以方程f(x)=ax²+bx+(b-1)=0恒有两根
①a=0时，方程变为一元一次方程，最多一个根，不合题意
②a≠0时，方程为一元二次方程
为保证恒有两根
根的判别式△应大于0恒成立
即b²-4a(b-1)>0恒成立
b²-4ab+4a>0

这里把b看成自变量（相当于平时说的x），a看成常量(相当于一个具体的数)

函数y=b²-4ab+4a是一元二次函数
要使y>0恒成立
所以一要使其开口向上，二要使其与x轴无交点
其中开口向上已满足
所以就要使△<0
(-4a)²-4×4a<0
16a²-16a<0
a(a-1)<0
0<a<1

Answer 2

（1）此时f(x)=x^2-2x-3=(x-3)(x+1),令其=0，解得零点3,-1
(2)令f(x)=ax^2+bx+(b-1)=0（*）,若对任意实数b，f(x)恒有两个相异零点，即为方程（*）恒有两个不等实根。则德尔塔>0
b^2-4a(b-1)>0对任意b均成立。b^2-4ab+4a=(b-2a)^2-4a^2+4a>0
只要满足-4a^2+4a恒大于零即可。-4a^2+4a=-4(a^2-a)=-4[(a-1/2)^2-1/4]=-4(a-1/2)^2+1,要此式>0，则(a-1/2)^2<1/4,-1/2<a-1/2<1/2,解此不等式，0<a<1

Answer 3

若对任意实数b ,函数f(x)恒有两个相异的零点
所以方程f(x)=ax²+bx+(b-1)=0恒有两根
①a=0时，方程变为一元一次方程，最多一个根，不合题意
②a≠0时，方程为一元二次方程
为保证恒有两根
根的判别式△应大于0恒成立
即b²-4a(b-1)>0恒成立
b²-4ab+4a>0

Answer 4

(1)问就不解了,
(2)
f(x)=ax＾2+bx+(b-1)=0恒有二个不等根.
△=b＾2-4a（b-1）＞0
b＾2-4ab+4a＞0
△=16a＾2-16a＜0
0＜a＜1