Question

帮帮看我这道高一数学题这样解哪里错了？

若函数y=f（x）的值域是[1/2,3]，则函数F(x)=f(x)+1/f(x)的值域是（）
A.[1/2,3] B.[2,10/3] c.[5/2,10/3] D [3,10/3]
解：令f(x)=t,则F(x)=t+1/t
∵1/2≤t≤3 ……①
∴1/3≤1/t≤2 ……②
①+②得
5/6≤t+1/t≤5
即F(x)的值域是[5/6,5]
为什么没这个答案？

Answer 1

当①式中t=1/2时，1/t=2并不是等于1/3
即①②式中的左端点不能同时取到，同样右端点也不能同时取到
正确解法：
最小值用楼上说的基本不等式，可求得为2
最大值应该用导数法（最小值也可一起求出，即根本就不要用基本不等式了）
令g(t)=t+1/t
g'(t)=1-1/t²=(t+1)(t-1)/t²
[1/2,1]上减函数 [1,3]上增函数
最小值是g(1)=2
最大值是g(1/2)与g(3)中大的那一个
由于g(1/2)=5/2 g(3)=10/3
所以最大值为10/3
故值域为[2，10/3]

Answer 2

这个应该用基本不等式做的吧
F(x)=f(x)+1/f(x)≥2
当且仅当f(x)=1时取等号
耐克函数当f(x)取3时 有最大值
F(x)值域为[2，10/3]

（你用的方法最小值和最大值取到的条件不同 不能相加）

Answer 3

如楼上所说，不等式虽然相加是成立的，但误差会随着相加的次数增多而变大...

况且你计算过程是X取不同的值才获得的结果

Answer 4

1/2≤t≤3 是对的，但是不代表1/3≤1/t≤2，这题你直接令f(x)=t,则F(x)=t+1/t，当t=1/2时，代入;F(x)=5/2,当t=3时代入：F(x)=10/3 所以选c

Answer 5

t+1/t 典型的函数啊 最小值2啊·~~~t=1时

Answer 6

可以把问题简化为y=x+1/x，x范围为【1/2,3】；求y的范围。
首先要考虑y的单调性，在【1/2,3】范围内y并不是单调递增或递减，因为不能直接对其进行简单的不等式加减。可以配合y=x+1/x的函数图像来分析，也可直接可对y求导，求y=x+1/x（x>0）的最小值【令y'=0时，求出x的值为1】；这样将x=1带入y=x+1/x，得出y的最小值为2；此时答案已经锁定了B选项，如果要再细化，可在将x=1/2，x=3分别代入y=x+1/x，比较求出的y值的大小【5/2和10/3】，取大值为y的上限；y的范围为：【2,10/3】。
即F(x)的值域是：【2,10/3】。B选项正确。
1. y=x+1/x
值域（-∞，-2]U [2, +∞)
单调区间 （-∞，-1]U[1,+∞) 单调递增；[-1,0)U（0，1]单调递减；画图最简单在一三象限